Dominos

Toutes les lois ci-dessous se lisent en arithmétique modulo 7 : les dominos ne portent que les chiffres 0 à 6, donc dès qu'un calcul dépasse 6 on retire 7 pour revenir dans l'intervalle (6 + 4 = 10, soit 3), et dès qu'il passe sous 0 on ajoute 7 (1 − 3 = −2, soit 5). Autrement dit les sept chiffres forment une boucle : après le 6 vient le 0, avant le 0 vient le 6. C'est la clé de lecture de presque toutes les logiques qui suivent, et la première cause d'erreur quand on l'oublie.

Ce tutoriel regroupe les logiques de notre test et celles des D48, D70 et D2000 d'origine. Chaque exemple est une vraie question, avec à gauche la suite telle qu'elle s'affiche - le domino à trouver y porte deux points d'interrogation - et à droite sa solution. Les exemples sont donnés indifféremment en lignes ou en colonnes : une même loi peut vous être posée dans l'un ou l'autre sens, et c'est souvent le premier réflexe à avoir quand une lecture en ligne ne donne rien.

• D'un domino au suivant, le haut et le bas avancent chacun d'une quantité fixe - mais un domino sur deux peut avoir été retourné.

  Lue telle quelle, la suite ne donne rien : de 0/4 à 6/1 le haut recule de 1, de 6/1 à 2/1 il avance de 3. Aucun pas constant. C'est le signal qu'un domino sur deux a été retourné. Remettez d'aplomb les 1^er, 3^e et 5^e dominos : la suite devient 4/0, 6/1, 1/2, 3/3, ?, 0/5. Le haut avance alors de 2 à chaque fois (4, 6, puis 6 + 2 = 8 soit 1, puis 3, puis 5, puis 5 + 2 = 7 soit 0) et le bas de 1 (0, 1, 2, 3, 4, 5). Le domino cherché vaut donc 5 en haut et 4 en bas. Attention au dernier pas : il occupe la 5^e place, c'est-à-dire l'une des places retournées, et se pose donc 4 en haut, 5 en bas.

• L'écart entre le haut et le bas d'un domino est le même sur toute la suite.

  Prenez les dominos entiers : 3/0, 5/2, 2/6, 0/4. Du haut vers le bas, l'écart vaut à chaque fois 4 - pour 3/0 par exemple, 3 + 4 = 7, soit 0. Rien ne change d'un domino à l'autre, seule cette différence compte, et les hauts eux-mêmes ne suivent aucune progression : c'est le piège de cette logique, on cherche une suite là où il n'y a qu'un écart. Le domino incomplet porte 6 en haut, son bas vaut donc 6 + 4 = 10, soit 3.

• L'écart entre le haut et le bas d'un domino augmente (ou diminue) de 1 à chaque fois.

  Calculez l'écart du haut vers le bas domino par domino : 4/0 donne 3 (4 + 3 = 7, soit 0), 3/0 donne 4, 0/5 donne 5. L'écart progresse de 1. Le domino suivant doit donc afficher un écart de 6, et la suite le confirme : 5/5 donne 0, 6/0 donne 1, 5/0 donne 2. L'écart poursuit bien sa montée en repassant par 0 après 6. Le domino incomplet porte 3 en haut : son bas vaut 3 + 6 = 9, soit 2.

• Les sept chiffres sont présents une fois et une seule en haut, et une fois et une seule en bas.

  Sept dominos, sept chiffres : il n'y a rien à calculer, il faut inventorier. En haut on lit 3, 6, 1, 0, 4 et 2 - il manque le 5. En bas on lit 4, 2, 6, 5, 3 et 0 - il manque le 1. Le domino cherché est donc 5/1. Le piège est de vouloir lier le haut et le bas d'un même domino : les deux rangées sont indépendantes, chacune se complète pour son propre compte.

• Deux dominos voisins ont toujours un chiffre en commun, en haut ou en bas.

  Regardez les contacts deux à deux. 0/4 et 0/2 partagent le 0, en haut. 0/2 et 4/2 partagent le 2, en bas. Le chiffre commun alterne donc entre le haut et le bas, et le prochain contact doit se faire par le haut : le domino cherché reprend le 4 de 4/2. Le contact suivant, lui, se fait par le bas : le domino cherché reprend le 0 du dernier domino, 1/0. La réponse est 4/0. Les deux moitiés se déduisent ici de deux voisins différents, l'une par la gauche, l'autre par la droite.

• Pour passer d'une ligne à la suivante, on ajoute une quantité fixe au haut et une autre au bas.

  Comparez les deux lignes colonne par colonne. Première colonne : 2/6 devient 4/2, donc +2 en haut et +3 en bas (6 + 3 = 9, soit 2). Troisième colonne : 0/1 devient 2/4, +2 et +3 encore. Le pas est confirmé. Appliquez-le à la deuxième colonne, 3/4 : le haut donne 3 + 2 = 5, le bas 4 + 3 = 7, soit 0. La réponse est 5/0. Le haut et le bas avancent de quantités différentes : les traiter ensemble est la principale source d'erreur.

• Pour passer d'une ligne à la suivante, on multiplie le haut et le bas par un même nombre.

  Ici les chiffres ne s'ajoutent pas, ils se multiplient. Première colonne : 3/0 devient 6/0, soit un doublement. Troisième colonne : 1/1 devient 2/2, doublement encore. Le facteur vaut 2. La deuxième colonne part de 1/3 : le haut donne 1 × 2 = 2, le bas 3 × 2 = 6. La réponse est 2/6. Le réflexe à prendre quand une addition ne tombe pas juste est de tester ×2 puis ×3 - ce sont les deux seuls facteurs employés.

• La troisième ligne est la somme des deux premières.

  Vérifiez la loi là où tout est visible. Deuxième colonne : 0/4 plus 4/1 donne bien 4/5. Troisième colonne : 4/0 plus 6/5 donne 10/5, soit 3/5 une fois le tour de 7 retiré en haut - c'est exactement ce qu'affiche la dernière ligne. La loi tient. Dans la première colonne, c'est le terme du milieu qui manque : il faut donc soustraire au lieu d'additionner. Le haut vaut 5 − 5 = 0, le bas 0 − 2 = −2, soit 5. La réponse est 0/5.

• Le bas d'un domino et le haut du suivant sont séparés d'un écart constant.

  La loi ne relie pas les deux moitiés d'un même domino, mais la moitié basse d'un domino à la moitié haute du suivant. Cherchez cet écart sur les couples entièrement visibles : de 3/1 à 5/3, 1 + 4 = 5 ; de 5/3 à 0/4, 3 + 4 = 7, soit 0 ; de 0/4 à 1/6, 4 + 4 = 8, soit 1. L'écart vaut 4. Le domino cherché suit 5/2 : son haut vaut 2 + 4 = 6. Il précède 3/1 : son bas doit donner 3 une fois qu'on lui ajoute 4, il vaut donc 3 − 4 = −1, soit 6. La réponse est 6/6. Notez que les hauts et les bas pris séparément ne progressent pas - ne cherchez pas de suite de ce côté.

• Seuls quelques chiffres apparaissent, et chacun revient le même nombre de fois - en haut comme en bas.

  Aucune progression ici, seulement un inventaire. En haut, la grille n'emploie que deux chiffres, le 3 et le 4 ; sur six dominos, chacun doit donc apparaître trois fois. Or on compte déjà trois 3 et seulement deux 4 : le haut cherché est un 4. En bas, trois chiffres seulement, 1, 2 et 5, soit deux occurrences chacun ; on lit deux 2 et deux 5, mais un seul 1 : le bas cherché est un 1. La réponse est 4/1. La difficulté est de renoncer à calculer et de se mettre à compter.

• Les mêmes chiffres reviennent sur chaque ligne en haut, et le même nombre de fois sur l'ensemble de la grille en bas.

  La seconde ligne porte en haut les chiffres 1, 5, 6 et 0. La première ligne doit contenir les mêmes : on y lit déjà 1, 0 et 6, il manque donc le 5. En bas, la grille n'emploie que le 0 et le 6 ; huit dominos, donc quatre de chaque. On compte quatre 0 et seulement trois 6 : le bas cherché est un 6. La réponse est 5/6. Les deux rangées ne se comptent pas de la même façon - ligne par ligne en haut, sur toute la grille en bas.

• On passe d'une ligne à la suivante en ajoutant une quantité fixe au haut et une autre au bas.

  Suivez une colonne entièrement visible, la deuxième : 6/2, 2/3, 5/4, 1/5. Le haut avance de 3 (6 + 3 = 9, soit 2 ; puis 5 ; puis 5 + 3 = 8, soit 1) et le bas de 1. La troisième colonne le confirme : 5/0, 1/1, 4/2, 0/3. Revenez à la première colonne : au-dessus du domino cherché se trouve 4/3, donc le haut vaut 4 + 3 = 7, soit 0, et le bas 3 + 1 = 4. La réponse est 0/4, et la ligne suivante la valide - 0 + 3 = 3 et 4 + 1 = 5, soit 3/5.

• Le pas est constant dans les deux sens : d'une ligne à la suivante et d'une colonne à la suivante.

  Cette grille se lit dans les deux sens, ce qui donne deux chemins vers la réponse. En ligne d'abord : sur la première ligne, 6/1, 5/6, 4/4, 3/2 - le haut recule de 1 et le bas de 2 (1 − 2 = −1, soit 6 ; puis 4 ; puis 2). En colonne ensuite : de la première à la deuxième ligne, le haut avance de 4 et le bas de 5, comme le montre la deuxième colonne, 5/6 puis 2/4 (5 + 4 = 9, soit 2 ; 6 + 5 = 11, soit 4). Le domino cherché est sous 6/1 : 6 + 4 = 10, soit 3, et 1 + 5 = 6. La réponse est 3/6. Le chemin horizontal donne la même chose : à sa droite se trouve 2/4, et remonter d'un cran vers la gauche revient à ajouter 1 en haut et 2 en bas, soit 3/6.

• Chaque colonne a son propre pas, constant sur toute sa hauteur, mais différent d'une colonne à l'autre.

  Le piège est de chercher un pas unique pour toute la grille. Traitez les colonnes séparément. À gauche : 1/0, 2/6, 3/5, 4/4, 5/3 - le haut avance de 1, le bas recule de 1 (0 − 1 = −1, soit 6). À droite le pas est tout autre : 2/3, 6/4, 3/5, 0/6 - le haut avance de 4 (2 + 4 = 6 ; 6 + 4 = 10, soit 3 ; 3 + 4 = 7, soit 0) et le bas de 1. Le domino cherché clôt la colonne de droite : son haut vaut 0 + 4 = 4, son bas 6 + 1 = 7, soit 0. La réponse est 4/0.

• Chaque colonne a son propre pas constant, et la première ligne progresse elle aussi d'un pas régulier.

  La première ligne se lit d'un trait : 2/3, 1/5, 0/0 - le haut recule de 1 et le bas avance de 2 (3 + 2 = 5 ; 5 + 2 = 7, soit 0). Mais cette régularité ne se prolonge pas dans les lignes suivantes, où chaque colonne suit désormais son propre pas. Prenez la colonne du domino cherché, la troisième : sous le trou on lit 5/2 puis 4/3, soit un pas de −1 en haut et +1 en bas. En remontant de 5/2 vers le domino cherché, on applique ce même pas : 5 + 1 = 6 en haut et 2 − 1 = 1 en bas. La réponse est 6/1, et l'on vérifie par le haut de la colonne : 0 − 1 = −1, soit 6, et 0 + 1 = 1.

• Chaque ligne est la somme des deux qui la précèdent.

  Testez la loi sur la première colonne : 2/2 plus 0/6 donne 2/8, soit 2/1 - c'est bien la troisième ligne. Et 0/6 plus 2/1 donne 2/7, soit 2/0 - c'est bien la quatrième. La loi s'enchaîne de proche en proche, à la manière d'une suite de Fibonacci. Dans la troisième colonne, la troisième ligne vaut donc 4/4 plus 4/3, soit 8/7, c'est-à-dire 1/0 : le haut cherché est un 1. La dernière ligne le confirme, 4/3 plus 1/0 donne bien 5/3.

• Chaque ligne est la différence des deux qui la précèdent : on retire l'avant-précédente à la précédente.

  L'ordre de la soustraction est ce qui compte : c'est la ligne du dessus immédiat moins celle encore au-dessus, jamais l'inverse. Vérifiez-le sur la première colonne : 2/4 moins 4/6 donne −2/−2, soit 5/5, et c'est bien la troisième ligne ; puis 5/5 moins 2/4 donne 3/1, la quatrième. Dans la troisième colonne, c'est la ligne de départ qui manque, il faut donc renverser le calcul : la troisième ligne vaut 5/5 et la deuxième 6/0, donc la première vaut 6 − 5 = 1 en haut et 0 − 5 = −5, soit 2, en bas. La réponse est 1/2.

• L'écart est constant entre une ligne et celle qui se trouve deux rangs plus bas.

  Deux lignes voisines n'ont ici aucun rapport : c'est le piège, et la raison pour laquelle la grille compte six lignes. Sautez-en une. Colonne de gauche, de la première à la troisième ligne : 4/5 devient 1/6, donc +4 en haut (4 + 4 = 8, soit 1) et +1 en bas. De la deuxième à la quatrième : 1/0 devient 5/1, +4 et +1 encore. La grille est en réalité faite de deux suites entrelacées, celle des lignes impaires et celle des lignes paires. Le domino cherché est deux rangs sous 4/1 : son haut vaut 4 + 4 = 8, soit 1, et son bas 1 + 1 = 2. La réponse est 1/2, que confirment les deux rangs plus bas - 1 + 4 = 5 et 2 + 1 = 3, soit 5/3.

• L'écart est constant entre une ligne et celle qui se trouve trois rangs plus bas.

  Même principe que la logique précédente, mais l'enjambée est de trois rangs : la grille cache cette fois trois suites entrelacées. Colonne de droite, de la première à la quatrième ligne : 6/0 devient 0/3, donc +1 en haut (6 + 1 = 7, soit 0) et +3 en bas. De la deuxième à la cinquième : 5/0 devient 6/3, +1 et +3 encore. Le domino cherché est trois rangs sous 2/1, dans la colonne de gauche : son haut vaut 2 + 1 = 3 et son bas 1 + 3 = 4. La réponse est 3/4. Le réflexe utile devant une grille inhabituellement haute est justement d'essayer les lectures de deux en deux, puis de trois en trois.

• Sur une même ligne, tous les dominos ont la même somme.

  Additionnez les deux moitiés de chaque domino de la première ligne : 2/3 fait 5, 1/4 fait 5, 0/5 fait 5, 3/2 et 4/1 aussi. Le domino incomplet porte 5 en haut, son bas vaut donc 5 − 5 = 0. La réponse est 0. Notez que la seconde ligne obéit à la même loi mais avec une autre somme, 7 : 4/3, 5/2, 6/1, 1/6, 2/5, 3/4. Chercher une somme unique pour toute la grille est l'erreur classique - la loi vaut ligne par ligne. Ici les sommes restent de vraies sommes, sans tour de 7 à retirer.

• Sur une même ligne, tous les dominos ont le même écart entre leurs deux moitiés.

  Soustrayez le bas au haut, ligne par ligne. Première ligne : 6/4, 3/1, 4/2, 2/0 - l'écart vaut 2 partout. Deuxième ligne : 3/3, 5/5, 2/2, 1/1 - l'écart vaut 0, ce sont des doubles. Troisième ligne : 4/1, 5/2 et 3/0 donnent tous 3. Le domino incomplet de cette dernière ligne porte 3 en bas, son haut vaut donc 3 + 3 = 6. La réponse est 6. Comme pour les sommes, l'écart change d'une ligne à l'autre : c'est ce qui distingue cette logique d'une progression.

• Sur chaque ligne, les hauts et les bas avancent du même pas, et forment deux suites distinctes.

  Lisez la première ligne : les hauts font 5, 6, 0 et les bas 1, 2, 3. Les deux rangées avancent de 1, chacune de son côté. La troisième ligne le confirme : 3, 4, 5 en haut et 6, 0, 1 en bas. Le piège est de vouloir lire en colonne - d'une ligne à la suivante, le haut recule (5, 4, 3, 2), ce qui n'a rien à voir avec la loi. Sur la deuxième ligne, les hauts font 4, 5, donc 6, et les bas 0, 1, donc 2. La réponse est 6/2. Autre vérification : l'écart entre le haut et le bas d'un domino vaut 3 sur toute la grille, et 6 + 3 = 9, soit 2.

• Sur chaque ligne, les hauts et les bas avancent chacun de leur propre pas, et la progression se poursuit d'une ligne à la suivante.

  Suivez les hauts en lisant comme un texte, de gauche à droite puis ligne suivante : après le domino cherché viennent 0, 6, puis 5, 4, 3, puis 2, 1, 0. Ils reculent de 1 sans jamais s'interrompre au passage à la ligne. Les bas, eux, font 4, 5, puis 6, 0, 1, puis 2, 3, 4 : ils avancent de 1. Les deux rangées progressent donc en sens contraire, et c'est ce qui distingue cette logique de la précédente. Le domino cherché ouvre la grille : son haut précède le 0, il vaut 1 ; son bas précède le 4, il vaut 3. La réponse est 1/3.

• Un écart unique gouverne tout : celui qui sépare le haut du bas d'un domino sépare aussi le bas d'un domino du haut du suivant.

  Ici la frontière entre deux dominos ne compte pas : tous les chiffres forment une seule chaîne. Lisez-les à la suite - 1, 5, puis 2, 6, puis le domino cherché, puis 4, 1, puis 5, 2, puis 6, 3. Le pas est de 4 : 1 + 4 = 5, 5 + 4 = 9 soit 2, 2 + 4 = 6. La chaîne se poursuit même au passage à la ligne, puisque 6/3 est suivi de 0/4. Le domino cherché vient après le 6 de 2/6 : son haut vaut 6 + 4 = 10, soit 3, et son bas 3 + 4 = 7, soit 0. La réponse est 3/0, et le domino suivant la confirme puisque 0 + 4 = 4.

• Deux écarts alternent : l'un à l'intérieur d'un domino, l'autre pour passer au domino suivant.

  La chaîne est la même que dans la logique précédente, mais elle bat sur deux temps. À l'intérieur d'un domino, le bas vaut toujours le haut plus 1 : 5/6, 1/2, 0/1, 3/4. Pour sauter au domino suivant, l'écart est de 2 : de 5/6 à 1/2, 6 + 2 = 8, soit 1 ; de 0/1 à 3/4, 1 + 2 = 3. Le domino cherché vient après 1/2 : son haut vaut 2 + 2 = 4 et son bas 4 + 1 = 5. La réponse est 4/5. Le domino qui suit la valide, puisque 5 + 2 = 7, soit 0, qui est bien le haut de 0/1.

• La grille est symétrique par rapport à sa ligne (ou sa colonne) centrale.

  Ne cherchez aucune progression : rien n'avance ici, la grille se replie sur elle-même. La première et la troisième ligne doivent être identiques, la ligne du milieu servant d'axe - elle n'est soumise à aucune contrainte, et c'est pour cela qu'elle semble arbitraire. Comparez : 3/3 fait face à 3/3, 1/4 à 1/4, 4/2 à 4/2. Le domino cherché occupe la deuxième place de la dernière ligne ; son reflet est le deuxième domino de la première ligne, soit 5/3. La réponse est 5/3.

• La grille est symétrique par rapport à sa diagonale.

  La grille est carrée, ce qui est le premier indice. Pliez-la mentalement le long de la diagonale qui descend du coin haut-gauche vers le coin bas-droite : le domino de la 1^re ligne, 2^e colonne doit alors coïncider avec celui de la 2^e ligne, 1^re colonne. On lit 4/2 des deux côtés. De même, 5/2 apparaît en 2^e ligne, 3^e colonne et en 3^e ligne, 2^e colonne. Le domino cherché est en 1^re ligne, 3^e colonne : son reflet est en 3^e ligne, 1^re colonne, soit 0/1. Le haut cherché est donc un 0. Les dominos posés sur la diagonale elle-même sont leur propre reflet et ne renseignent sur rien.

• La grille est symétrique par rapport à son centre : elle est identique après une rotation d'un demi-tour.

  Ce n'est pas un miroir mais un demi-tour, et la différence est décisive : en tournant la grille, chaque domino se retrouve la tête en bas. Le premier domino de la première ligne, 3/0, correspond donc au dernier de la dernière ligne, qui affiche 0/3 - les mêmes chiffres, inversés. De même 2/6 répond à 6/2, et 0/5 à 5/0. La ligne du milieu se referme sur elle-même : 1/5 à gauche répond à 5/1 à droite, 6/4 à 4/6. Le domino cherché ouvre la dernière ligne ; son opposé est le dernier de la première ligne, 1/4. Retourné, il donne 4/1. La réponse est 4/1 - répondre 1/4 est l'erreur que cette logique cherche à provoquer.