Mathématiques

⚠ Attention, souvent une équation seule ou un calcul approché permettent de sélectionner la bonne réponse car toutes les autres sont incohérentes et éloignées du résultat. Dans l'immense majorité des cas, soit le calcul final se simplifie fortement (donc évitez les calculs intermédiaires et conservez le plus possible des expressions numériques), soit la solution peut être sélectionnée par élimination en regardant les ordres de grandeurs ou en faisant un calcul grossier.

• Timothé et Jean met(tent) 0h03min à exécuter la visite prévol de l'avion. Frédéric met(tent) 0h04min à exécuter la visite prévol de l'avion. Jean met(tent) 0h12min à exécuter la visite prévol de l'avion. Combien de temps met(tent) Frédéric et Jean à faire cette visite prévol ensemble?
  → Réponses : 0h12min, 0h04min, 0h03min, 0h02min, 0h01min
  Une durée ne s'additionne pas, un débit si : comptons en visites par heure. Timothé et Jean en font 60/3 = 20 par heure. Frédéric en fait 60/4 = 15 par heure. Jean en fait 60/12 = 5 par heure. On en déduit le débit de chacun, seul : Timothé 15, Jean 5, Frédéric 15 par heure. Frédéric et Jean en font donc 15 + 5 = 20 par heure, soit une visite toutes les 60/20 = 0h03min.

• 10 voiture(s) et 2 carotte(s) valent 7050 euros. 4 voiture(s) et 7 carotte(s) valent 3006 euros. Combien vaut un(e) carotte(s) ?
  → Réponses : 15 euros, 6990 euros, 30 euros, 60 euros, 699 euros
  Multiplions chaque ligne pour y faire apparaître le même nombre de voitures, que l'on veut éliminer : la première par 2, la seconde par 5. On obtient d'une part 4 carottes et 20 voitures pour 14100 euros, d'autre part 35 carottes et 20 voitures pour 15030 euros. En retranchant la première à la seconde, les voitures disparaissent : 31 carottes valent 930 euros. Donc chaque carotte vaut 30 euros.

• Sachant que 1 rial(s) vaut 96 shekel(s) et que 16 franc(s) suisse(s) vaut 4 shekel(s). Combien fait(font) 9 franc(s) suisse(s) en rial(s) ?
  → Réponses : 0.38, 0.02, 741, 0.04, 384
  C'est une cascade de règles de trois, à mener dans le bon sens. 9 francs suisses valent 9*4/16 = 2.25 shekels, qui valent 2.25*1/96 = 0.0234 rial, soit 0.02 en arrondissant au centième.

• Un objet est normalement vendu sans réduction à 625 euros. Pour les soldes le commerçant décide de lui appliquer une première remise de 21 pourcents puis une deuxième remise de 20 pourcents. Quel est le prix final de cet objet ?
  → Réponses : 395 euros, 370 euros, 345 euros, 346 euros, 369 euros
  Deux remises successives ne s'additionnent pas, elles se multiplient : la seconde porte sur le prix déjà soldé, pas sur le prix affiché. L'objet coûte donc 625*(1 - 0.21)*(1 - 0.2) = 395 euros. Retenir 625*(1 - 0.41) = 368.75 euros serait l'erreur classique.

• Un objet est vendu avec réduction à 2291 euros. En effet, le commerçant lui a appliqué une remise de 42 pourcents à laquelle s'est ajoutée une deuxième remise de 21 pourcents. Quel était le prix sans remise de cet objet ?
  → Réponses : 5500 euros, 5000 euros, 4500 euros, 6500 euros, 6000 euros
  Appelons X le prix sans remise. Les deux remises se multipliant, X est tel que X*(1 - 0.42)*(1 - 0.21) = 2291, c'est-à-dire X*0.4582 = 2291. Le prix plein était donc 2291/0.4582 = 5000 euros.

• 5 ouvriers effectuent 3 m2 de travail en 9 heures. Combien d'ouvriers seront nécessaires pour faire 4 m2 en 10h ?
  → Réponses : 5, 8, 6, 18, 4
  L'effectif suit la surface, et il remonte quand le temps se réduit : le plus sûr est de compter en m2 par heure. 5 ouvriers couvrent 3/9 = 1/3 m2 par heure, alors que le chantier demandé réclame 4/10 = 2/5 m2 par heure. Le nombre d'ouvriers suit ce rapport : il en faudra 5*4*9/(3*10) = 6, soit 6 ouvriers.

• Le prix final après remise est de 12 euros, et la remise de 4 euros. Quel était le pourcentage de remise dont ont bénéficié les clients ?
  → Réponses : 20 pourcents, 23 pourcents, 28 pourcents, 25 pourcents, 29 pourcents
  Le prix initial était de 12+4 = 16 euros. Un taux de remise se rapporte toujours à ce prix initial, jamais au prix effectivement payé : la remise vaut donc 100*4/16 = 25 pourcents. La rapporter au prix final donnerait 100*4/12 = 33.33, qui n'est pas un taux de remise : c'est l'erreur classique de la famille.

• Le prix final après remise est de 189 euros, et la remise de 30 pourcents. Quel était le prix initial ?
  → Réponses : 338 euros, 257 euros, 270 euros, 297 euros, 311 euros
  Après une remise de 30 pourcents, le prix payé ne représente plus que 100 - 30 = 70 pourcents du prix initial. On remonte donc en divisant : le prix initial était de 189/(1 - 0.3) = 189/0.7 = 270 euros. Rajouter 30 pourcents au prix final donnerait 245.7 euros, et ce n'est pas la même chose : le pourcentage ne porte pas sur la même base.

• En plaçant 9872 euros, sur un compte à 8 pourcents par an, quelle somme sera sur ce compte après 2 ans ?
  → Réponses : 10677.56 euros, 13283.76 euros, 11514.7 euros, 10270.83 euros, 11092.18 euros
  Les intérêts se composent : chaque année multiplie la somme par 1.08, les intérêts de la première année rapportant à leur tour. Au bout de 2 ans le compte porte 9872*1.08² = 11514.7 euros. En QCM, inutile de mener la puissance : (1 + e)^n vaut à peu près 1 + n*e pour un e petit, d'où 9872*(1 + 2*0.08) = 11451.52 euros. Cette approximation est toujours un peu basse, les termes négligés étant positifs, mais elle suffit à désigner la proposition.

• En 1973 le prix d'un objet est de 910 euros. En 1974 le prix a diminué de 546 euros par rapport à l'année précédente. En 1975 le prix a diminué de 50 pourcents par rapport à l'année précédente. Quel est le prix final de cet objet en 1975 ?
  → Réponses : 204 euros, 149 euros, 171 euros, 182 euros, 226 euros
  Chaque évolution porte sur le prix de l'année précédente, jamais sur celui de 1973 : on avance donc pas à pas, et on n'additionne surtout pas des pourcentages entre eux. Le prix vaut 910 euros en 1973, puis en 1974, 910 - 546 = 364 euros, puis en 1975, 364*(1 - 0.5) = 182 euros. En 1975, l'objet vaut donc 182 euros.

• Un avion consomme 8064 litres sur un aller et retour. A cause du vent il a consommé 72 pourcents de moins à l'aller qu'au retour. Combien a-t-il consommé à l'aller ?
  → Réponses : 1764 litres, 2965 litres, 5099 litres, 10836 litres, 830 litres
  Le pourcentage porte sur la consommation du retour, qui est l'inconnue : notons-la X. L'aller vaut alors (1 - 0.72)*X, et l'aller et retour X + (1 - 0.72)*X = 1.28*X = 8064 litres. Le retour a donc consommé 8064/1.28 = 6300 litres. Et l'aller, tout le reste : 8064 - 6300 = 1764 litres. Inutile de repasser par le pourcentage, la soustraction suffit.

• Un champ de 3534 m2 a une longueur de 38 m. De combien faut-il augmenter sa largeur pour que la surface soit égale à 5472 m2 ?
  → Réponses : 31 mètres, 74 mètres, 44 mètres, 51 mètres, 17 mètres
  La longueur ne bouge pas : elle reste de 38 m, et c'est elle qui convertit les mètres en mètres carrés. Il faut gagner 5472 - 3534 = 1938 m2, et chaque mètre de largeur supplémentaire en apporte 38. Il faut donc augmenter la largeur de 1938/38 = 51 mètres. Inutile de calculer les deux côtés : seule l'augmentation est demandée.

• 2 trains partent de 2 gares distantes de 2436 kms en roulant l'un vers l'autre. Le premier roule à 454 km/h. Le deuxième roule à 386 km/h. Sachant qu'ils sont partis à 16h01min. A quelle heure se croisent-ils ?
  → Réponses : 18h40min, 18h24min, 19h16min, 18h55min, 22h20min
  Ne suivez pas chaque train : suivez la distance qui les sépare. Elle part de 2436 kms et diminue à raison de 454+386 = 840 km/h, la somme des deux vitesses, puisque chacun avance vers l'autre. Elle s'annule au bout de 60*2436/840 = 174 minutes, soit 2h54min. Partis à 16h01min, les trains se croisent donc à 18h55min.

• 2 trains partent de 2 gares distantes de 2573 kms en roulant l'un vers l'autre. Le premier roule à 530 km/h. Le deuxième roule à 310 km/h. Sachant que le premier est parti à 9h59min et que le second est parti à 10h05min. A quelle heure se croisent-ils ?
  → Réponses : 14h38min, 13h05min, 18h07min, 12h57min, 12h55min
  Le premier train a 6 minutes d'avance : commençons par les convertir en kilomètres. À 10h05min, il a déjà parcouru 530*6/60 = 53 kms, et les deux trains ne sont plus qu'à 2573 - 53 = 2520 kms l'un de l'autre. On est ramené au cas du départ simultané : cette distance diminue à raison de 530+310 = 840 km/h et s'annule au bout de 60*2520/840 = 180 minutes, soit 3h. Comptés depuis 10h05min, les trains se croisent à 13h05min.

• Le capitaine, le copilote et le steward touchent leur salaire. La somme des salaires fait 403 euros. Le capitaine touche sa part. Le steward touche 37 euros de plus que le capitaine. Le copilote touche 70 euros de moins que le steward. Combien touche le steward ?
  → Réponses : 270 euros, 100 euros, 133 euros, 170 euros, 303 euros
  Notons X le salaire du capitaine, celui dont l'énoncé ne dit rien d'autre. Les deux autres s'écrivent alors en fonction de X, en suivant la chaîne des comparaisons : le steward touche 37 euros de plus que le capitaine, soit X + 37, et le copilote touche 70 euros de moins que le steward, soit X - 33. La somme des trois vaut 3X + 4 = 403, donc 3X = 399 et X = 133 euros. Le steward touche donc X + 37, soit 170 euros.

• Le capitaine, le copilote et le steward touchent leurs salaires. La somme des salaires fait 4337 euros. Le copilote touche sa part. Le capitaine touche 918 euros de plus que 1/10 de ce que touche le copilote. Le steward touche 1171 euros de moins que le quadruple de ce que touche le copilote. Combien touche le capitaine ?
  → Réponses : 4698 euros, 2061 euros, 4058 euros, 1008 euros, 2429 euros
  Notons X le salaire du copilote, celui dont l'énoncé ne dit rien d'autre. Chaque salaire s'écrit alors en fonction de X, en composant les coefficients quand une clause s'appuie sur l'autre : le capitaine touche 918 euros de plus que 1/10 du salaire du copilote, soit X/10 + 918, et le steward touche 1171 euros de moins que le quadruple du salaire du copilote, soit 4X - 1171. La somme des trois vaut 51X/10 - 253 = 4337, donc 51X/10 = 4590 et X = 900 euros. Le capitaine touche donc X/10 + 918, soit 1008 euros.

• Un champ carré dont on augmente la taille des côtés de 3 mètre(s) a une surface de 196m2. Quelle était à l'origine la longueur du côté du champ ?
  → Réponses : 9 mètres, 10 mètres, 8 mètres, 14 mètres, 11 mètres
  La surface de 196 m2 est celle du champ AGRANDI. Comme il est carré, son côté vaut racine(196) = 14 m. Ce côté avait gagné 3 mètres : le champ mesurait donc 14 - 3 = 11 mètres de côté à l'origine, soit une surface de 11*11 = 121 m2. Le piège serait de retrancher l'agrandissement à la surface : c'est le côté qui a grandi, pas l'aire.

• Un article a vu son prix augmenter en Mars de 25 pourcents. Il est ensuite soldé de 25 pourcents. Son prix final est de 600 euros. Quel était son prix avant le mois de Mars ?
  → Réponses : 752 euros, 640 euros, 480 euros, 800 euros, 683 euros
  Une hausse puis une baisse du même taux ne se compensent pas : elles se multiplient, et (1 + t)*(1 - t) = 1 - t*t est toujours plus petit que 1. L'article a donc perdu de la valeur. Notons P son prix d'avant Mars : P*(1 + 0.25)*(1 - 0.25) = P*0.9375 = 600 euros, donc P = 600/0.9375 = 640 euros.

• Un avion part à 15 heures locales d'une ville A et arrive à une ville B à 18 heures locales le même jour. Sachant qu'il a volé 10 heure(s), quel est le décalage horaire entre les villes A et B ?
  → Réponses : 3 heures, 9 heures, 8 heures, 7 heures, 4 heures
  Comptons les heures depuis minuit, le jour du départ, et gardons ce décompte pour les deux villes. Une montre restée à l'heure de la ville A indique à l'atterrissage 15 + 10 = 25h, c'est-à-dire 1h le jour suivant. Au même instant, la pendule de la ville B affiche 18h le même jour. Le décalage vaut donc 18 - 25 = -7 heures : la ville B est en retard de 7 heures sur la ville A. C'est la valeur absolue qui est demandée, soit 7.

• A 14h la température est de 17°. De 14h à 14h30, la température évolue de 2°/h. De 14h30 à 16h, la température évolue de 4.5°/h. De 16h à 16h30, la température augmente de 3°. De 16h30 à 19h, la température évolue de 3°/h. De 19h à 23h30, la température évolue de 1.5°/h. De 23h30 à 4h, la température évolue de 2°/h. Quelle est la température à 4h ?
  → Réponses : 53 °, 46.5 °, 51 °, 51.25 °, 55 °
  Il n'y a rien à deviner ici, seulement à tenir les comptes, en distinguant bien les deux régimes : une pente s'exprime en degrés par heure et se multiplie par la durée du palier, alors qu'une hausse ou une baisse annoncée en degrés s'ajoute telle quelle. On avance donc palier par palier : à 14h, T = 17°
  à 14h30, T = 17 + 2*0.5 = 18°
  à 16h, T = 18 + 4.5*1.5 = 24.75°
  à 16h30, T = 24.75 + 3 = 27.75°
  à 19h, T = 27.75 + 3*2.5 = 35.25°
  à 23h30, T = 35.25 + 1.5*4.5 = 42°
  à 4h, T = 42 + 2*4.5 = 51°.
  La température finale est de 51°.

• Dans 25 ans Jean-Cyrille, Pierre et François auront à eux trois 112 ans. Pierre a 6 ans de plus que 1/3 de l'âge de Jean-Cyrille. Jean-Cyrille a 7 ans de plus que 1/3 de l'âge de François. Quel est l'âge de Jean-Cyrille ?
  → Réponses : 7.3333333333 ans, 12 ans, 7.5 ans, 11.5 ans, 15 ans
  On note JC, P et F les âges de Jean-Cyrille, Pierre et François. Dans 25 ans, chacun aura vieilli d'autant : la somme annoncée compte 3*25 = 75 ans de trop, et les âges d'aujourd'hui donnent JC + P + F = 112 - 75 = 37 (a). L'énoncé donne par ailleurs P = JC/3 + 6 (b) et JC = F/3 + 7 (c). Seul F n'est défini par aucune de ces deux relations : c'est par lui qu'il faut passer. Tout s'exprime alors en fonction de F : JC = F/3 + 7 et P = F/9 + 25/3. En reportant dans (a) : (F/3 + 7) + (F/9 + 25/3) + F = 37, soit 13*F/9 = 65/3 et F = 15. On redescend : JC = 15/3 + 7 = 12. Jean-Cyrille a donc 12 ans.

• J'ai 2558 euros en pièces de 100 et 2 euros. J'ai en tout 54 pièces. Combien de pièces ai-je de chaque type ?
  → Réponses : 46 de 100 euros et 8 de 2 euros, 52 de 100 euros et 2 de 2 euros, 11 de 100 euros et 43 de 2 euros, 25 de 100 euros et 29 de 2 euros, 41 de 100 euros et 13 de 2 euros
  En épreuve, le plus rapide est encore d'essayer les propositions : une seule retombe sur 2558 euros. Le calcul direct n'est pas plus long. Si les 54 pièces étaient toutes de 2 euros, elles ne feraient que 54*2 = 108 euros ; il manque 2558 - 108 = 2450 euros. Or remplacer une pièce de 2 par une pièce de 100 euros ajoute 100 - 2 = 98 euros, et il en faut donc 2450/98 = 25 pièces de 100 euros. Restent 54 - 25 = 29 pièces de 2 euros, soit 25 de 100 euros et 29 de 2 euros.

• Une échelle fait 12.73 mètres. Elle est composée de 20 barreaux (il y a un espace entre chaque barreau mais il y a également un espace entre le sol et le premier barreau et entre le dernier barreau et le sommet de l'échelle). Sachant qu'un barreau fait 8 cms d'épaisseur, quelle est la taille de l'espace entre chaque barreau ?
  → Réponses : 53 cms, 47 cms, 48 cms, 44 cms, 43 cms
  Il y a 20 barreaux, donc 21 espaces : un de plus, puisque l'échelle en compte un entre le sol et le premier barreau et un autre entre le dernier barreau et le sommet. En centimètres, l'échelle fait 12.73*100 = 1273 cms, dont 20*8 = 160 cms de barreaux. Il reste 1273 - 160 = 1113 cms à partager entre les 21 espaces, soit 1113/21 = 53 cms chacun.

• Une plante double de surface en un mois. Plantée début Novembre, elle s'étend sur 119.52 m2 fin Février de l'année suivante. Quelle était sa surface initiale en m2 ?
  → Réponses : 6.72 m2, 5.98 m2, 22.41 m2, 0.75 m2, 7.47 m2
  La plante grossit sur 4 mois pleins (Novembre, Décembre, Janvier et Février) : le mois d'arrivée compte, puisqu'on va jusqu'à sa fin. Elle a donc multiplié sa surface par 2⁴ = 16, et elle faisait 119.52/16 = 7.47 m2 au départ.

• Le développement d'une bicyclette est le rapport du nombre de dents du plateau au nombre de dents du pignon de la roue arrière. Parmi les développements suivants : 356/48, 152/20, 358/49, 451/60, 30/4 quel est le développement le plus faible ?
  → Réponses : 7.61, 7.01, 7.31, 7.51, 7.11
  Poser les cinq divisions coûterait trop cher : un calcul approché suffit. Dans l'ordre, les rapports valent à peu près 7.42, 7.6, 7.31, 7.52 et 7.5. Attention, c'est le plus FAIBLE qui est demandé, quand l'oeil va spontanément au plus gros : c'est celui de 358/49, soit 7.31.

• Une chaudière a consommé entre le 27 Mars et le 6 Novembre inclus un volume de 2250 m3. Quelle a été la consommation journalière moyenne ?
  → Réponses : 14 m3/jour, 10 m3/jour, 7 m3/jour, 11 m3/jour, 8 m3/jour
  Tout est dans le décompte des jours, les deux bornes comprises. Mars en donne 5, du 27 au 31. Viennent ensuite les mois entiers : Avril (30), Mai (31), Juin (30), Juillet (31), Août (31), Septembre (30), Octobre (31). Enfin Novembre ajoute ses 6 premiers jours. Cela fait 5 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 6 = 225 jours. La consommation journalière moyenne vaut donc 2250/225 = 10 m3/jour.

• Un avion part à 20 heures locales d'une ville A et arrive à une ville B à 21 heures locales le même jour. Sachant qu'il a volé 9 heure(s) et qu'il a passé 3 heure(s) en escale, quel est le décalage horaire entre les villes A et B ?
  → Réponses : 6 heure(s), 5 heure(s), 1 heure(s), 11 heure(s), 3 heure(s)
  L'escale compte comme le vol : l'avion a voyagé 9 + 3 = 12 heures. Comptons alors les heures depuis minuit, le jour du départ, et gardons ce décompte pour les deux villes. Une montre restée à l'heure de la ville A indique à l'arrivée 20 + 12 = 32h, c'est-à-dire 8h le jour suivant (on retranche 24h en passant minuit). Au même instant, la pendule de la ville B affiche 21h le même jour. Le décalage vaut donc 21 - 32 = -11 heures : la ville B est en retard de 11 heures sur la ville A. C'est la valeur absolue qui est demandée, soit 11.

• Le prix d'un billet de 1ère classe est 75/65 fois le prix de celui de 2ème classe. Quel est le prix d'un trajet en première classe sachant que l'écart entre les billets de 1ère et de 2ème classe est de 22 euros ?
  → Réponses : 173 euros, 157 euros, 140 euros, 165 euros, 198 euros
  Notons P1 et P2 les prix du trajet en première et en deuxième classe : l'énoncé dit P1 = 75/65*P2 et P1 - P2 = 22 euros. La fraction 75/65 se réduit à 15/13 : voyons donc P1 comme 15 parts et P2 comme 13 parts. L'écart de 22 euros représente 15 - 13 = 2 parts, et une part vaut 22/2 = 11 euros. La première classe en compte 15, soit 15*11 = 165 euros.

• Un avion vole à 240 km/h. Il rencontre un vent arrière égal au 1/12 de sa vitesse. Combien de temps mettra-t-il alors pour parcourir 2184 km ?
  → Réponses : 9h14min, 8h39min, 7h59min, 8h49min, 8h24min
  Le vent vaut le 1/12 de 240, soit 240/12 = 20 km/h. Comme il vient de l'arrière, il s'ajoute : par rapport au sol, l'avion avance à 240 + 20 = 260 km/h. Les 2184 km demandent alors 2184/260 heures, soit 2184*60/260 = 504 minutes, c'est-à-dire 8h24min.

• Deux personnes ayant 36 ans de différence d'âge ont à elles deux 40 ans. Quel est l'âge de la plus jeune ?
  → Réponses : 2 ans, 36 ans, 42 ans, 38 ans, 4 ans
  Notons A l'âge de la plus jeune. L'aînée a alors A + 36 ans, et l'énoncé dit A + (A + 36) = 40. Donc 2*A = 40 - 36 = 4, et A = 2 ans.

• La vitesse aérodynamique indiquée doit être augmentée de 6 pourcents par 100 mètres d'altitude afin d'obtenir la vitesse aérodynamique vraie. Si la vitesse aérodynamique indiquée à 5600 mètres est de 860 km/h, quelle est la vitesse aérodynamique vraie ?
  → Réponses : 3750 km/h, 4500 km/h, 3000 km/h, 2625 km/h, 5249 km/h
  La correction n'est pas forfaitaire, elle s'applique à chaque tranche de 100 mètres, et l'altitude en compte 5600/100 = 56. Elle vaut donc au total 6*56 = 336 pourcents, et la vitesse vraie 860*(1 + 3.36) = 3749.6, soit 3750 km/h une fois arrondie.

• On partage 284 euros entre 4 personnes de la façon suivante : La première ayant reçu sa part, chacune reçoit alors 40 euros de plus que la précédente. Combien reçoit la première personne ?
  → Réponses : 9 euros, 11 euros, 13 euros, 14 euros, 15 euros
  Appelons P la part de la première personne. Les 4 parts valent P, P + 40, P + 80, P + 120, et leur somme fait 4*P + (0 + 40 + 80 + 120) = 284. L'astuce est de sommer les suppléments d'un seul coup, au lieu de les cumuler un à un : 40*(1 + 2 + 3) = 40*3*4/2 = 240. Il reste 4*P = 284 - 240 = 44, donc P = 44/4 = 11 euros.

• Trois candidats ont obtenu à un test les notes suivantes : A a eu 40 points de plus que C; B 17 points de plus que la moitié de A. La somme totale des points a été de 392. Combien B a-t-il totalisé ?
  → Réponses : 80 points, 46 points, 86 points, 63 points, 100 points
  Notons a, b et c les points totalisés par A, B et C. L'énoncé donne a = c + 40, b = 17 + a/2 et a + b + c = 392. Tout se ramène à a, la seule note citée dans les deux relations : on remplace c par a - 40 et b par 17 + a/2, ce qui donne a + (17 + a/2) + (a - 40) = 392, c'est-à-dire 5*a/2 = 392 - 17 + 40 = 415. Donc a = 2*415/5 = 166, et B a totalisé b = 17 + 166/2 = 100 points.

• Des avaries subies par les hélices d'un pétrolier réduisent sa vitesse moyenne à 7 noeuds au dessus du 1/13 de sa vitesse moyenne avant les avaries. Si le pétrolier ne fait maintenant qu'un mille marin en 3min, quelle a été sa vitesse moyenne normale ? (1 noeud = 1 mille marin par heure)
  → Réponses : 220 noeuds, 203 noeuds, 152 noeuds, 186 noeuds, 169 noeuds
  Commençons par convertir : un mille marin en 3min, cela fait 60/3 = 20 milles en une heure, donc le pétrolier avarié tient 20 noeuds. Cette vitesse est annoncée 7 noeuds au-dessus du 1/13 de la vitesse normale : ce 1/13 vaut donc 20 - 7 = 13 noeuds. La vitesse moyenne normale était par conséquent de 13*13 = 169 noeuds.

• Chaque fois que la température s'élève de 2 degrés au dessus de la température normale, une correction de 2 pourcents à la lecture de l'altimètre devra être rajoutée. Si l'altimètre indique 1689 mètres et si la température est de 10 degrés au dessus de la température normale, quelle est l'altitude vraie ?
  → Réponses : 1858 mètres, 1841 mètres, 1853 mètres, 1861 mètres, 1866 mètres
  La correction est donnée par pas de 2 degrés, pas pour l'écart entier. Ici la température est montée de 10 degrés, soit 10/2 = 5 fois ce pas : la correction à appliquer vaut 2*5 = 10 pourcents. L'altitude vraie est donc de 1689*1.1 = 1857.9, soit 1858 mètres au mètre près.

• L'avion A vole à une vitesse équivalente à 0.19 de la vitesse de l'avion B. Quelle distance effectuerait l'avion B si l'avion A parcourt 37 kilomètres ?
  → Réponses : 200 kilomètres, 210 kilomètres, 195 kilomètres, 175 kilomètres, 185 kilomètres
  L'avion A ne vole qu'à 0.19 fois la vitesse de B : c'est donc B qui va le plus loin, et le rapport se divise au lieu de se multiplier. Pendant que A parcourt 37 kilomètres, B en parcourt 37/0.19 = 194.74, soit 195 kilomètres au kilomètre près.

• Les commerciaux d'une coopérative agricole ont vendu 5502 kg de grain en une semaine, c'est à dire 31 pourcents de plus que ce qu'ils ont vendu la semaine précédente. Combien de grain auraient-ils dû vendre pour augmenter de 72 pourcents la quantité de grain vendue pendant la semaine précédente ?
  → Réponses : 7224 kgs, 9463 kgs, 1176 kgs, 13715 kgs, 4190 kgs
  Les deux pourcentages se rapportent à la semaine précédente, qu'il faut donc retrouver d'abord. Les 5502 kg vendus valent 131 pourcents de cette semaine-là, qui a donc pesé 5502/1.31 = 4200 kg. Pour la dépasser de 72 pourcents, il aurait fallu vendre 4200*1.72 = 7224 kg. En une seule ligne : 1.72*5502/1.31 = 7224 kg.

• Un groupe de pêcheurs sous-marins a rapporté 585 kgs de poissons en trois jours. Le troisième jour, il a pêché les 6/11 de poissons du premier jour et le deuxième jour 2 fois plus de poissons que le premier jour. Combien de poissons a-t-il pêché le troisième jour ?
  → Réponses : 54 kgs, 126 kgs, 90 kgs, 81 kgs, 63 kgs
  Notons P1, P2 et P3 les prises des trois jours. L'énoncé donne P3 = 6*P1/11, P2 = 2*P1, et P1 + P2 + P3 = 585. Tout s'exprime en fonction de P1 : P1 + 2*P1 + 6*P1/11 = 585, c'est-à-dire 39*P1/11 = 585. D'où P1 = 11*585/39 = 165 kg, et le troisième jour 6*165/11 = 90 kg.

• Un avion de tourisme est parti de son aérodrome de départ à 6h vers un aérodrome de destination situé à une distance de 589 kilomètres. Il s'y est arrêté 58 minutes et est retourné ensuite vers son terrain de départ. Pendant son vol aller, sa vitesse a été de 114 km/h ; pendant son vol retour, sa vitesse a été de 24 pourcents plus rapide. A quelle heure est-il retourné sur son aérodrome de départ ?
  → Réponses : 18h32, 17h18, 16h18, 18h55, 15h20
  Comptons tout en minutes, pour n'avoir aucune heure décimale à manier. L'avion parcourt 589 km à 114 km/h, soit 60*589/114 = 310 minutes d'aller. Il s'arrête ensuite 58 minutes. Au retour il refait les mêmes 589 km, mais à 1.24*114 = 141.36 km/h, ce qui lui prend 60*589/141.36 = 250 minutes. L'absence totale dure donc 310 + 58 + 250 = 618 minutes, soit 10h18min. Parti à 6h, l'avion se pose à 16h18.

• Un camion de livraison doit se rendre à un point situé à 801 kilomètres de Paris et revenir. A cause du fret chargé, le voyage de retour demandera 1/4 de gas-oil de plus que le voyage aller. Si la quantité de gas-oil nécessaire pour le voyage aller et retour est de 387 litres, combien de litres seront nécessaires pour le voyage aller seulement ?
  → Réponses : 206 litres, 224 litres, 241 litres, 120 litres, 172 litres
  Appelons F le gas-oil du voyage aller. Le retour en demande 1/4 de plus, soit (1 + 1/4)*F. Le trajet complet donne F + (1 + 1/4)*F = 387, c'est-à-dire 9*F/4 = 387. Donc F = 4*387/9 = 172 litres. Remarquez que les 801 kilomètres n'ont servi à rien : c'est une donnée superflue, posée là pour vous faire perdre du temps.

• La vitesse de l'avion A s'élève à 54/81 de la vitesse de l'avion B et la vitesse de l'avion C est de 28/12 de celle de l'avion B. Combien de fois l'avion C est-il plus rapide que l'avion A ?
  → Réponses : 5/1, 7/2, 3/1, 4/1, 6/1
  A vole à 54/81 de la vitesse de B ; en retournant cette fraction, B vole à 81/54 de la vitesse de A. Comme C vole à 28/12 de la vitesse de B, on enchaîne les deux : Vc = (28/12)*(81/54)*Va = (2268/648)*Va, soit (7/2)*Va après simplification. L'avion C est donc 7/2 fois plus rapide que l'avion A.

• Un camion effectuant le trajet St Yan-Muret sur l'autoroute A20 roule en raison de son chargement à 55 kilomètres par heure. Il a 897 kilomètres d'avance sur une voiture roulant dans le même sens et dont la vitesse est de 124 kilomètres par heure. Combien de kilomètres le camion fera-t-il avant d'être rattrapé ?
  → Réponses : 2919 kilomètres, 1125 kilomètres, 715 kilomètres, 398 kilomètres, 572 kilomètres
  Ne raisonnez pas sur les deux vitesses séparément, mais sur celle à laquelle l'écart se referme : la voiture gagne 124 - 55 = 69 km sur le camion à chaque heure. Les 897 kilomètres d'avance sont donc effacés au bout de 897/69 = 13 heures. Pendant ce temps, le camion aura parcouru 55*13 = 715 kilomètres.

• La vitesse par rapport au sol d'un avion volant avec fort vent de face est égale aux 8/12 de sa vitesse de croisière normale, moins 15 km/h. La vitesse perdue par rapport au sol, à cause du vent, est égale aux 4/8 de la vitesse croisière normale, moins 17 km/h. Quelle est sa vitesse de croisière normale ?
  → Réponses : 134 km/h, 192 km/h, 211 km/h, 230 km/h, 154 km/h
  Notons Vn la vitesse de croisière normale et Vv la vitesse perdue à cause du vent. L'énoncé donne Vn - Vv = (8/12)*Vn - 15 et Vv = (4/8)*Vn - 17. On substitue la seconde dans la première, ce qui fait disparaître Vv : Vn - ((4/8)*Vn - 17) = (8/12)*Vn - 15, c'est-à-dire (8/12 + 4/8 - 1)*Vn = 15 + 17 = 32. Or 8/12 + 4/8 - 1 = 1/6, donc Vn = 32*6 = 192 km/h.

• Un avion de ligne parti d'Orly, parcourt une distance de 20 pourcents plus longue pendant la deuxième heure que pendant la première heure et 15 pourcents plus longue pendant la troisième heure que pendant la deuxième. Si celui-ci vole à 1380 kilomètres par heure pendant la troisième heure, à quelle distance d'Orly était-il à la fin de la troisième heure ?
  → Réponses : 2380 kilomètres, 3780 kilomètres, 2200 kilomètres, 3580 kilomètres, 3600 kilomètres
  Notons D1, D2 et D3 les distances parcourues pendant chacune des trois heures. On a D2 = 1.2*D1 et D3 = 1.15*D2, et c'est D3 qui est connue : il faut donc remonter la chaîne en divisant. D2 = D3/1.15 = 1380/1.15 = 1200 kilomètres, puis D1 = D2/1.2 = 1200/1.2 = 1000 kilomètres. À la fin de la troisième heure, l'avion est donc à 1000 + 1200 + 1380 = 3580 kilomètres d'Orly.

• Un avion de ligne A vole en direction d'un aéroport X à une vitesse moyenne de 273 kilomètres par heure. Lorsqu'il est à 2756 kilomètres de cet aéroport, un avion B en décolle et vole en direction de l'avion A à une vitesse moyenne de 416 kilomètres par heure. A quelle distance de l'aéroport les deux avions se croiseront-ils ?
  → Réponses : 832 kilomètres, 1654 kilomètres, 1664 kilomètres, 1331 kilomètres, 1378 kilomètres
  La question revient à se demander à quelle distance de l'aéroport X se trouvera l'avion B au moment où il croisera l'avion A. Les deux appareils volant l'un vers l'autre, la distance qui les sépare se réduit de 273 + 416 = 689 kilomètres par heure. Ils se croisent donc au bout de 2756/689 = 4 heures. À cet instant, l'avion B, qui a décollé de l'aéroport, a parcouru 416*(2756/689) = 1664 kilomètres.

• Un avion s'éloigne du terrain A à une vitesse moyenne de 522 kilomètres par heure. Une panne moteur le force à retourner à une vitesse moyenne de 261 kilomètres par heure. Il était parti à 1h et est revenu à 12h. A quelle distance l'avion était-il lorsqu'il retourna vers le terrain A ?
  → Réponses : 2488 kilomètres, 1340 kilomètres, 1914 kilomètres, 1723 kilomètres, 2105 kilomètres
  Soit D la distance à laquelle l'avion a rebroussé chemin. Le vol a duré de 1h à 12h, soit 11 heures. En heures, l'aller a duré D/522 et le retour D/261, d'où D/522 + D/261 = 11. En mettant au même dénominateur, D*(522 + 261)/(522*261) = 11, c'est-à-dire D = 11*522*261/783 = 1914 kilomètres.

• Un bateau avance à la vitesse de 10 noeuds en maintenant un cap nord-ouest. Il subit un courant et un vent qui le font dériver. Le courant est de 7 noeuds et vient du nord-est. Le vent est de 3 noeuds et vient du nord. Quelle est sa vitesse finale ?
  → Réponses : 14.46 noeuds, 8.44 noeuds, 9.64 noeuds, 15.67 noeuds, 12.05 noeuds
  Il convient dans ce genre de question de faire un petit dessin.Prenons un repère explicite : x vers l'est, y vers le nord. Le cap nord-ouest s'y écrit [-0.71, 0.71], donc le vecteur vitesse du bateau seul vaut 10*[-0.71, 0.71] = [-7.07, 7.07]. Attention au sens des deux dérives : elles sont nommées par leur provenance, donc un courant qui vient du nord-est pousse le bateau vers le sud-ouest. Le courant s'écrit donc [-4.95, -4.95] et le vent [0, -3], qui pousse vers le sud. En les ajoutant au premier, le vecteur vitesse global vaut [-12.02, -0.88]. La vitesse finale en est le module : racine(12.02² + 0.88²), soit 12.05 noeuds.

• 88 ouvriers effectuent 850 m2 de travail en 31 heures. Combien de temps est nécessaire pour faire 340 m2 à 48 ouvriers ?
  → Réponses : 26h09min, 22h44min, 18h11min, 25h, 27h17min
  Le temps cherché se déduit des 31 heures de départ par deux corrections, sans jamais calculer de cadence intermédiaire. Il est proportionnel à la surface, que l'on corrige donc par le rapport des surfaces, 340/850 ; il est inversement proportionnel au nombre d'ouvriers, que l'on corrige par l'inverse du rapport des effectifs, soit 88/48, puisque plus il y a d'ouvriers, moins il faut de temps. Si 88 ouvriers font 850 m2 en 31 heures, il faudra donc 31*(88/48)*(340/850) = 22h44min à 48 ouvriers pour faire 340 m2.

• 3 ouvriers effectuent 7 m2 de travail en 7 heures. Quelle surface réussiront 6 ouvriers à effectuer en 10h ?
  → Réponses : 19 m2, 22 m2, 20 m2, 23 m2, 21 m2
  La surface est proportionnelle au nombre d'ouvriers (rapport 6/3) et à la durée du chantier (rapport 10/7) : les deux corrections sont directes, on multiplie par chacun des deux rapports tels quels. Si 3 ouvriers effectuent 7 m2 en 7 heures, alors 6 ouvriers en 10h feront 7*(6/3)*(10/7) = 20 m2.

• Le prix final après remise est de 16 euros, et le prix initial était de 50 euros. Quel est le pourcentage de remise dont ont bénéficié les clients ?
  → Réponses : 213 pourcents, 58 pourcents, 54 pourcents, 78 pourcents, 68 pourcents
  La remise est de 50 - 16 = 34 euros, ce qui représente 100*34/50 = 68 pourcents du prix initial. Le piège est le dénominateur : c'est le prix de départ qui sert de référence, pas le prix soldé. 100*34/16 donnerait 213 pourcents, ce qui ne veut rien dire pour une remise.

• Un article a vu son prix augmenter en Mars de 22 pourcents. Il est ensuite soldé de 22 pourcents. Son prix au début du mois de Mars était de 674 euros. Quel est son prix à la fin du mois ?
  → Réponses : 864 euros, 1003 euros, 552 euros, 641 euros, 1108 euros
  Une hausse puis une baisse du même pourcentage ne se compensent pas : la seconde porte sur un prix déjà augmenté, donc plus élevé. À la fin du mois, l'article vaut 674*1.22*(1 - 0.22) = 674*0.9516 = 641.38 euros, soit 641 euros une fois arrondi, et non les 674 euros du début du mois. L'ordre des deux opérations n'y change rien : le prix est de toute façon multiplié par 1 - (22/100)², il abandonne donc 4.84 pourcents de sa valeur.

• Une échelle fait 23.09 mètres. Elle est composée de 25 barreaux (il y a un espace entre chaque barreau mais il y a également un espace entre le sol et le premier barreau et entre le dernier barreau et le sommet de l'échelle). Sachant que l'espace entre deux barreaux est de 84 cms, quelle est l'épaisseur d'un barreau ?
  → Réponses : 5 cms, 4 cms, 12 cms, 3 cms, 7 cms
  L'échelle a 25 barreaux, donc 26 espacements : un sous le premier barreau, un au-dessus du dernier, et 24 entre les barreaux. C'est là qu'il faut être attentif. Comptons en centimètres. Soit E l'épaisseur d'un barreau : 2309 = 25*E + 26*84 = 25*E + 2184. Il reste 2309 - 2184 = 125 centimètres pour les barreaux, d'où E = 125/25 = 5 centimètres.

• Un bateau avance de 12 NM vers l'Est puis de 5 NM vers le Sud. À quelle distance de son point de départ se trouve-t-il alors ?
  → Réponses : 18 NM, 17 NM, 8 NM, 19 NM, 13 NM
  L'énoncé demande la distance qui sépare le point d'arrivée du point de départ, et non la longueur du chemin parcouru : additionner 12 et 5 est le piège. Les deux caps étant perpendiculaires, le trajet dessine un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 12 et 5 NM. (Ce genre d'exercice doit se concevoir comme si on était à l'équateur.) La distance cherchée est donc racine(12² + 5²) = racine(169) = 13 NM.

• Un avion A vole vers le nord-ouest à la vitesse de 40 noeuds. Un avion B vole vers l'ouest. Quelle vitesse doit maintenir l'avion B pour rester au sud de l'avion A ?
  → Réponses : 20 noeuds, 57 noeuds, 46 noeuds, 80 noeuds, 28 noeuds
  Astuce, dessinez les vecteurs vitesse des deux avions à partir d'un même point ! Pour que B reste au sud de A, le vecteur qui joint la pointe de A à celle de B, en pointillé sur le dessin, doit être dirigé vers le sud : c'est la différence des deux vitesses. Or le sud est perpendiculaire au cap de B (l'ouest), et les deux caps (le nord-ouest et l'ouest) font 45 degrés entre eux. Le vecteur de B est donc la projection de celui de A sur son propre cap : Vb = Va*cos(45 degrés) = 40/1.414 = 28.28, soit 28 noeuds en arrondissant.

• Une voiture accélère de façon constante de 55 km/h à 175 km/h en 3min. Quelle distance a-t-elle parcourue pendant cette accélération ?
  → Réponses : 6900 mètres, 4600 mètres, 5175 mètres, 7475 mètres, 5750 mètres
  L'accélération étant constante, on peut raisonner sur une vitesse moyenne, qui est la demi-somme des deux vitesses : (55 + 175)/2 = 115 km/h. Reste à convertir la durée en heures : 3min font 3/60 d'heure. La voiture a donc parcouru 115*3/60 = 5.75 kms, c'est-à-dire 5750 mètres.

• Louis est occupé avec des amis à creuser dans un champ un certain nombre de trous identiques. Lorsque Louis fait équipe avec Philippe, ils creusent un trou en 30 jours. Lorsque Louis fait équipe avec Andréa, ils creusent un trou en 45 jours. Enfin, lorsque Philippe et Andréa font équipe ensemble, ils creusent un trou en 99 jours. Combien de jours sont nécessaires à Louis pour creuser un trou seul ?
  → Réponses : 44 jour(s), 19 jour(s), 5 jour(s), 8 jour(s), 18 jour(s)
  Soient respectivement L, P et A les nombres de trous que Louis, Philippe et Andréa creusent par jour. L'énoncé donne L + P = 1/30 (a), L + A = 1/45 (b) et P + A = 1/99 (c). En additionnant (a) et (b) on trouve 2L + P + A = 1/30 + 1/45. En y remplaçant P + A grâce à (c), il vient 2L = 1/30 + 1/45 - 1/99 = 1/22, donc L = 1/44. Louis creuse donc un trou seul en 44 jours.

• Un passager quitte son domicile parisien à 17h57min pour se rendre par avion à sa destination. Compte-tenu des distances existant entre son domicile et Orly, entre l'aéroport de sa destination et son lieu de rendez-vous, il effectue 80 pourcents des 520 kilomètres qui séparent son domicile de son lieu de rendez-vous en avion à une vitesse moyenne de 1040 km/h. Il fait le reste du voyage en voiture à une vitesse de 208 km/h. Ce voyageur n'a pas de bagage à faire enregistrer. On peut estimer le temps passé dans les aéroports à 29 minutes au départ et à 11 minutes à l'arrivée. A quelle heure arrive-t-il théoriquement à son lieu de rendez-vous ?
  → Réponses : 18h57min, 19h31min, 19h08min, 18h37min, 1h40min
  Le voyageur fait 80 pourcents des 520 kms, soit 416 kms, en avion à 1040 km/h : il y passe 60*416/1040 = 24 minutes. Il effectue le reste, 520 - 416 = 104 kms, en voiture à 208 km/h, soit 60*104/208 = 30 minutes. En ajoutant les 29 minutes passées à l'aéroport de départ et les 11 minutes à celui d'arrivée, le voyage entier dure 24 + 30 + 29 + 11 = 94 minutes, c'est-à-dire 1h34min. Parti à 17h57min, le voyageur arrive donc à 19h31min.

• Selon l'horaire un avion de tourisme devrait faire un vol de 1056 kilomètres en 4 heures. Après avoir volé 440 kilomètres, l'avion se trouve en retard de 1h56min par rapport à l'horaire. A quelle vitesse l'avion devra-t-il voler pendant le reste du voyage afin d'établir une moyenne de 132 km/h pour l'ensemble du voyage ?
  → Réponses : 196 km/h, 84 km/h, 182 km/h, 168 km/h, 140 km/h
  L'horaire supposait une vitesse de 1056/4 = 264 km/h. Les 440 premiers kilomètres auraient donc dû prendre 440/264 = 1h40min ; avec 1h56min de retard, l'avion a en réalité déjà volé 3h36min. Viser 132 km/h de moyenne sur l'ensemble du voyage, c'est se donner 1056/132 = 8h pour la totalité du vol, et non pour ce qu'il en reste : c'est là qu'est le piège. Il faut donc parcourir les 1056 - 440 = 616 kilomètres restants en 8h - 3h36min = 4h24min. La vitesse à tenir est donc de 616/4.4 = 140 km/h.

• Lorsqu'il est 4 heures du matin dans une ville A, il est 6 heures de l'après-midi dans une ville B le même jour. Quelle heure est-il dans la ville A lorsqu'il est 3 heures du matin le 19 Octobre dans la ville B ?
  → Réponses : 4 heures du matin le 20 Octobre, 11 heures du matin le 20 Octobre, 12 heures le 19 Octobre, 4 heures du matin le 18 Octobre, 1 heure de l'après-midi le 18 Octobre
  La première phrase donne le décalage : quand A marque 4 heures du matin, B marque 6 heures de l'après-midi le même jour, donc B est en avance de 14 heures sur A. Pour revenir de B vers A, on retranche ces 14 heures d'avance : 3 - 14 = -11, ce qui est négatif : on ajoute 24 heures et on recule d'un jour. Lorsqu'il est 3 heures du matin le 19 Octobre dans la ville B, il est donc 1 heure de l'après-midi le 18 Octobre dans la ville A.

• Gérard loue une moto à la gare de Marseille pour se rendre à la ville voisine, distante de 102 kilomètres. En cours de route, son ami François monte derrière lui et fait avec lui les 12 derniers kilomètres. Le soir Gérard fait le chemin inverse avec François et le laisse là où il était monté. Gérard revient ensuite à son point de départ où il rend la moto et paie 133 euros. Les deux amis contribuent équitablement à la dépense. Combien François doit-il payer ?
  → Réponses : 117 euros, 14 euros, 125 euros, 16 euros, 119 euros
  Gérard fait l'aller et le retour en entier, soit 2*102 = 204 kilomètres ; François n'est sur la moto que sur 12 kilomètres à l'aller et autant au retour, soit 2*12 = 24 kilomètres. La dépense se répartit au prorata de ces kilomètres : François doit 133*24/(24 + 204) = 14 euros, et Gérard le reste, 133 - 14 = 119 euros. François paie donc 14 euros.
  Ce raisonnement déroute souvent, et il est pourtant le bon : "équitablement" veut dire que chacun paie proportionnellement aux kilomètres qu'il a parcourus sur la moto, et non à parts égales. Si A fait 2 kilomètres dont 1 avec B en passager, A paie 2/3 de la note et B 1/3. Surveillez le DÉNOMINATEUR : c'est le total des kilomètres-passagers, 24 + 204 = 228, et non les 204 kilomètres de Gérard seuls. Diviser par ceux-ci donnerait 133*24/204 = 15.65, et c'est l'erreur qui guette.

• Un bassin comporte 3 robinets. Le premier le remplit en 15 heures, le deuxième le remplit en 21 heures et le troisième le vide en 10 heures. En considérant que les 3 robinets sont ouverts, au bout de combien de temps le bassin sera-t-il rempli ?
  → Réponses : 70 heures, 58 heures, 60 heures, 75 heures, 52 heures
  Une durée ne s'additionne pas, un débit si. En une heure, le premier robinet apporte 1/15 de bassin, le deuxième 1/21, et le troisième en retire 1/10. Les trois ouverts, le bassin gagne donc 1/15 + 1/21 - 1/10 = 1/70 de sa contenance par heure. Il faut l'inverse de ce débit pour le remplir en entier, soit 70 heures.

• Deux villes A et B sont reliées par un chemin de fer. Toutes les heures, il part un train de chaque ville pour rejoindre l'autre. Les deux trains roulent à la même vitesse et chaque voyage d'une ville à l'autre dure 15 h. Combien chaque train croise-t-il de trains allant en sens inverse, en comptant ceux qu'il rencontre à quai à l'instant de son départ et à celui de son arrivée ?
  → Réponses : 29, 31, 28, 32, 30
  Suivons un train qui quitte A. Son voyage dure 15 h. Au moment où il part, un train venu de B entre en gare de A : celui-là avait quitté B 15 heures plus tôt. Au moment où notre train entre en gare de B, un autre en part à l'instant même. Il rencontre donc tous les trains partis de B sur une plage de 15 + 15 = 30 heures, à raison d'un par heure : cela fait 30 + 1 = 31 trains bornes comprises, dont 29 en pleine voie et deux à quai. L'énoncé demande de compter les deux rencontres à quai : elles s'ajoutent aux 29 croisements en pleine voie, ce qui fait 31 trains. Sans elles, ce serait 29 : tout l'écart se joue sur cette phrase de l'énoncé, et sur elle seule.

• Lorsque Gérard part en vacances à la montagne, il aime la marche à pied qu'il pratique à la vitesse régulière de 4 km/h. Chaque jour à midi, il rencontre dans une auberge à mi-chemin de leurs chalets respectifs son ami François. François marche un peu moins vite (2.5 km/h). Sachant que les 2 amis s'arrangent pour arriver ensemble à l'auberge à midi, à quelle distance sont-ils l'un de l'autre à 9h du matin ?
  → Réponses : 19.5 kms, 18.25 kms, 21.25 kms, 18.75 kms, 21.5 kms
  À 9h du matin, il reste 3 heures avant midi. Gérard, qui marche à 4 km/h, est donc encore à 4*3 = 12 kilomètres de l'auberge, et François, à 2.5 km/h, à 2.5*3 = 7.5 kilomètres. L'auberge étant à mi-chemin des deux chalets, les amis marchent l'un vers l'autre et se trouvent de part et d'autre d'elle : leur distance est la somme des deux, 12 + 7.5 = 19.5 kms. Ne calculer que la distance de l'un des deux à l'auberge serait l'erreur classique.

• Le prix d'un produit est d'abord augmenté de 70 pourcents puis est réduit de 70 pourcents. Le prix final a baissé de 49 euros par rapport au prix initial. Quel est le prix final ?
  → Réponses : 59 euros, 100 euros, 9 euros, 51 euros, 333 euros
  Augmenter de 70 pourcents puis réduire de 70 pourcents revient à multiplier par 1.7*0.3 = 0.51. Le prix final ne vaut donc que 51 pourcents du prix initial, et la baisse représente 49 pourcents de celui-ci. Cette baisse valant 49 euros, le prix initial était de 49/0.49 = 100 euros, et le prix final de 100 - 49 = 51 euros. La réponse cherchée est donc 51 euros. Rendre le prix initial est l'erreur classique, et croire qu'une hausse et une baisse du même taux se compensent en est une autre : elles ne se compensent jamais, la seconde portant sur un montant déjà modifié par la première.

• Une carte est à une échelle de 1/4000000. Quelle distance dans la réalité est représentée par 0.69 mètres sur la carte ?
  → Réponses : 2760 kms, 27600 kms, 0.28 kms, 2.76 kms, 2760000 kms
  La longueur mesurée sur la carte est déjà en mètres : 0.69 mètre. L'échelle 1/4000000 veut dire qu'un mètre sur la carte en vaut 4000000 sur le terrain : il suffit donc de multiplier. La distance réelle vaut 0.69*4000000 = 2760000 mètres, soit 2760 kms une fois ramenée aux kilomètres.

• Une carte est à une échelle de 1/50000000. Quelle distance sur la carte représente 4200000 mètres sur terre ?
  → Réponses : 8400 cms, 8.4 cms, 0.08 cms, 0.84 cms, 84 cms
  La distance sur le terrain est déjà en mètres : 4200000 mètres. L'échelle 1/50000000 veut dire que le terrain est 50000000 fois plus grand que la carte : il faut donc diviser. La distance sur la carte vaut 4200000/50000000 = 0.084 mètre, soit 8.4 cms.

• Si sur une carte, 104.1 cms représentent 520500 mètres sur terre, quelle est l'échelle de la carte ?
  → Réponses : 1/50000, 1/500000, 1/50000000, 1/500, 1/5000000000
  Une échelle est un rapport, et un rapport n'a de sens qu'entre deux longueurs de même unité. Remettons donc tout en mètres : 104.1 cms font 1.041 mètre, et 520500 mètres sont déjà en mètres. Le terrain est alors 520500/1.041 = 500000 fois plus grand que la carte. L'échelle de la carte est donc 1/500000.

• Une entreprise fabrique un stock de 648 produits. Elle en exporte 8/9 vers l'Espagne puis 5/8 de ce qui reste vers l'Italie, combien reste-t-il de produits pour la France ?
  → Réponses : 216 produits, 27 produits, 42 produits, 45 produits, 11 produits
  L'entreprise exporte 8/9 du stock vers l'Espagne : elle en garde 1/9, soit 648*1/9 = 72 produits. Elle exporte ensuite 5/8 de ce qui reste vers l'Italie, et non du stock de départ : elle garde 3/8 de ces 72 produits, soit 72*3/8 = 27 produits pour la France.

• Un premier robinet remplit un bassin en 7h, un deuxième en 6h, un troisième en 2h. Si on ouvre les 3 robinets simultanément, ils déversent 952 litres en 7h. Quelle est la contenance du bassin ?
  → Réponses : 588 litres, 336 litres, 756 litres, 168 litres, 84 litres
  Appelons d1, d2 et d3 les débits des trois robinets et C la contenance du bassin. Chacun remplit le bassin à lui seul, donc 7*d1 = 6*d2 = 2*d3 = C, c'est-à-dire d1 = C/7, d2 = C/6 et d3 = C/2. Ensemble ils débitent d1 + d2 + d3 = C*(1/7 + 1/6 + 1/2) = C*(12 + 14 + 42)/84 = 68C/84 par heure. En 7 heures ils déversent 7*68C/84 = 952 litres, d'où C = 952*84/(7*68) = 168 litres.

• Sur une tôle de 1.3m par 0.55m, on découpe des carrés de 30cms de côté, quelle surface reste inutilisée ?
  → Réponses : 0.27 m2, 0.355 m2, 0.43 m2, 0.405 m2, 0.29 m2
  Les carrés de 30 cms vont jusqu'à 1.2 m sur le côté de 1.3 m, et jusqu'à 0.3 m sur celui de 0.55 m. Il reste donc une bande de (1.3 - 1.2)*0.55 = 0.055 m2 et une autre de (0.55 - 0.3)*1.3 = 0.325 m2. Ces deux bandes se recouvrent dans un coin : il faut retrancher une fois cette intersection, (1.3 - 1.2)*(0.55 - 0.3) = 0.025 m2. La surface inutilisée vaut donc 0.055 + 0.325 - 0.025 = 0.355 m2.

• Il y a 11 ans, l'âge de Claire était les 2/9 de l'âge d'Antoine. Dans 2 ans, l'âge de Claire sera les 3/7 de l'âge d'Antoine. Quel est l'âge de Claire aujourd'hui ?
  → Réponses : 8 ans, 49 ans, 19 ans, 48 ans, 46 ans
  Soit n l'âge de Claire et v celui d'Antoine aujourd'hui. Il y a 11 ans : 9*(n - 11) = 2*(v - 11), soit 9n - 2v = 77. Dans 2 ans : 7*(n + 2) = 3*(v + 2), soit 7n - 3v = -8. Multiplions la première ligne par 3 et la seconde par 2, pour faire apparaître 6v dans les deux : 27n - 6v = 231, et 14n - 6v = -16. En retranchant la seconde à la première, il vient 13n = 247, donc n = 19. Claire a donc 19 ans et Antoine 47. Vérification : il y a 11 ans, 8 et 36, soit bien 2/9 ; dans 2 ans, 21 et 49, soit bien 3/7.

• Nadia a 23 ans et Vincent a 60 ans. Dans combien d'années l'âge de Vincent sera-t-il le double de celui de Nadia ?
  → Réponses : 14 ans, 17 ans, 11 ans, 12 ans, 60 ans
  Dans n années, Vincent aura 60 + n et Nadia 23 + n. On veut 60 + n = 2*(23 + n), soit 60 + n = 46 + 2n, donc n = 14. Vérification : Vincent aura alors 74 ans et Nadia 37, soit bien le double. Répondre 37, c'est-à-dire l'écart d'âge, est l'erreur : l'écart ne change jamais, c'est le RAPPORT des âges qui évolue.

• Lorsque l'on échange les deux chiffres de l'âge de Julien, on obtient l'âge de son fils. Quand son fils est né, Julien avait entre 44 et 48 ans. Quel âge avait-il à la naissance de son fils ?
  → Réponses : 46 ans, 45 ans, 48 ans, 43 ans, 54 ans
  Un nombre à deux chiffres s'écrit 10a + b, et son retourné 10b + a. Leur différence vaut 10a + b - (10b + a) = 9*(a - b) : c'est donc TOUJOURS un multiple de 9. Or l'âge de Julien à la naissance de son fils est précisément cette différence, entre son âge et l'âge retourné. Il reste à chercher le multiple de 9 compris entre 44 et 48 : c'est 45. Les multiples voisins, 36 et 54, tombent hors de la fourchette, et comme celle-ci est large de moins de 9 ans, elle ne peut en contenir qu'un seul.

• L'âge de Julien vaut 3 fois celui de son fils, et 13 fois celui de son petit-fils. Sachant qu'il a plus de 52 ans, quel âge a-t-il au minimum ?
  → Réponses : 76 ans, 78 ans, 77 ans, 79 ans, 52 ans
  L'âge cherché est divisible par 3 et par 13, donc par leur plus petit commun multiple, 39. Attention, cela n'en désigne pas un seul : les multiples de 39 sont en nombre infini, et la borne de l'énoncé n'en écarte que d'un côté. C'est le mot au minimum qui ferme la question, en demandant le plus petit multiple de 39 au-dessus de 52 : c'est 78, puisque 39 ne dépasse pas 52, et 117 le dépasse aussi mais n'est pas le plus petit à le faire. Julien a donc 78 ans, son fils 26 et son petit-fils 6. Répondre 26, c'est donner l'âge du fils au lieu de celui du père.

• À la fin d'un séminaire, 465 poignées de main ont été échangées, chacun ayant serré une fois la main de chacun des autres. Combien de personnes étaient présentes ?
  → Réponses : 930, 31, 30, 34, 961
  Chaque poignée de main met en jeu une PAIRE de personnes, et avec n personnes il y a n*(n - 1) / 2 paires. Il y a donc eu autant de paires que de poignées de main. On cherche n tel que n*(n - 1) / 2 = 465, soit n*(n - 1) = 930 : c'est 31, puisque 31*30 = 930. Diviser par deux est indispensable : sans cela on compte chaque poignée de main deux fois, une fois par participant.

• Un mécanicien doit emporter exactement 112 litres de carburant. Il ne dispose que de bidons de 7 litres et de bidons de 9 litres, tous remplis à ras bord. Combien de bidons emportera-t-il au minimum ?
  → Réponses : 15, 14, 17, 28, 16
  Pour en emporter le moins possible, on privilégie les grands : à contenance égale, remplacer un bidon de 9 litres par des bidons de 7 litres en demande toujours plus d'un, et fait donc monter le compte. On part du haut. 12 bidons de 9 litres laisseraient 4 litres, qui n'est pas un multiple de 7 : il faut redescendre de 5 crans, jusqu'à 7. Avec 7 bidons de 9 litres, il reste 49 litres, soit exactement 7 bidons de 7 litres : 7 + 7 = 14 bidons en tout. Toute répartition comptant moins de bidons de 9 litres en demanderait davantage de 7 litres, et donc plus de bidons au total.

• Un tireur marque le nombre de points de la zone qu'il atteint. Il a totalisé 92 points et toutes ses flèches ont atteint le 5, le 8 ou le 14. Il a atteint autant de fois le 8 que le 14. Combien de flèches a-t-il tirées ?
  → Réponses : 15, 14, 6, 16, 1
  Les flèches dans le 8 et dans le 14 vont par paires, puisqu'il y en a autant d'un côté que de l'autre, et chaque paire vaut 8 + 14 = 22 points. On cherche donc le nombre de paires qui laisse un reste multiple de 5. Avec 1 paire, il reste 92 - 22 = 70 points, soit 14 flèches dans le 5. Cela fait 14 + 2 = 16 flèches en tout. C'est la seule répartition possible : pour tout autre nombre de paires, le reste n'est pas un multiple de 5.

• Un lot de 170 rivets contient un seul rivet plus léger que les autres. Combien de pesées faudra-t-il au minimum, à l'aide d'une balance à deux plateaux et sans poids étalon, pour l'identifier à coup sûr ?
  → Réponses : 8, 6, 169, 10, 5
  Une balance à deux plateaux a TROIS issues : le plateau gauche descend, le droit descend, ou les deux s'équilibrent. Chaque pesée partage donc le lot en trois, et non en deux. 4 pesées tranchent entre 81 rivets au plus, et 5 entre 243. Comme 170 dépasse 81 sans dépasser 243, il faut 5 pesées, et 4 ne suffisent pas. Répondre 8, en raisonnant par dichotomie, est l'erreur attendue.

• Un atelier dispose de 14 tronçons de chaîne de 14 maillons chacun, tous fermés. Il faut les réunir en une seule chaîne fermée de 196 maillons. Couper un maillon prend 5 minutes et le ressouder en prend 9. De combien de minutes l'atelier a-t-il besoin au minimum ?
  → Réponses : 70 minutes, 210 minutes, 182 minutes, 126 minutes, 196 minutes
  Il faut une jonction entre chaque tronçon et le suivant, et la chaîne finale étant FERMÉE, le dernier tronçon rejoint le premier : il y a donc autant de jonctions que de tronçons, soit 14, et non 13. Chaque jonction demande d'ouvrir un maillon puis de le ressouder, c'est-à-dire 5 + 9 = 14 minutes. On ouvre un maillon de chacun des 14 tronçons, et le total vaut 14*14 = 196 minutes. Les 14 maillons par tronçon ne servent qu'à décrire la chaîne, ils n'entrent pas dans le calcul. Répondre 182, c'est n'avoir compté que 13 jonctions : ce serait juste pour une chaîne ouverte.

• Un centre de formation installe 127 stagiaires en rangées d'un même nombre de places. 6 stagiaires n'ont pas pu être placés. Un autre jour où il en manquait 18, on a formé 2 rangées de moins et 10 stagiaires n'ont pas pu être placés, le nombre de places par rangée étant le même. Combien de places compte une rangée ?
  → Réponses : 11, 18, 9, 14, 10
  Le premier jour, 127 - 6 = 121 stagiaires ont été placés. Le second, 127 - 18 = 109 étaient présents et 10 sont restés debout, donc 109 - 10 = 99 ont été placés. L'écart, 121 - 99 = 22 places, correspond exactement aux 2 rangées supprimées : une rangée compte donc 22 / 2 = 11 places. On y arrive sans jamais connaître le nombre de rangées, qui n'est d'ailleurs pas demandé.

• Des palettes sont gerbées en triangle : une palette au sommet, deux sur la rangée du dessous, trois en dessous encore, et ainsi de suite. L'ensemble compte 253 palettes et aucune rangée n'est incomplète. Combien de rangées compte-t-il ?
  → Réponses : 21, 84, 19, 22, 506
  Un empilement triangulaire à n rangées compte 1 + 2 + ... + n éléments, c'est-à-dire n*(n + 1) / 2. On cherche donc n tel que n*(n + 1) / 2 = 253, soit n*(n + 1) = 506. Comme 22*23 = 506, l'empilement compte 22 rangées, la dernière en portant 22. Répondre 253, c'est redonner le nombre de palettes au lieu du nombre de rangées.

• En divisant le nombre de pilotes en ligne par le nombre de pilotes en formation, on obtient exactement 0.85. Quel est le plus petit nombre de pilotes de la compagnie ?
  → Réponses : 35, 37, 20, 36, 85
  0.85 s'écrit 85/100, fraction qui se simplifie en 17/20 et ne se simplifie pas davantage. Le rapport le plus simple est donc de 17 pour 20, et le plus petit effectif compatible compte 17 + 20 = 37 pilotes de la compagnie. Répondre 20, c'est oublier de compter les pilotes en ligne ; répondre 185, c'est n'avoir pas simplifié 85/100, qui compterait 85 pilotes en ligne pour 100 pilotes en formation.

• La pagination d'un manuel de vol a demandé 1806 chiffres au total, la première page portant le numéro 1 et aucune page n'étant laissée sans numéro. Combien de pages compte ce manuel ?
  → Réponses : 903 pages, 638 pages, 634 pages, 639 pages, 637 pages
  On avance par tranches, selon le nombre de chiffres du numéro : les pages 1 à 9 en demandent 9*1 = 9 chiffres, les pages 10 à 99 en demandent 90*2 = 180 chiffres. Cela fait 189 chiffres jusqu'à la page 99. Il reste 1806 - 189 = 1617 chiffres, tous consommés par des pages à 3 chiffres, soit 1617 / 3 = 539 pages, les pages 100 à 638. Le manuel compte donc 638 pages. Répondre 539, c'est n'avoir compté que les pages à 3 chiffres, en oubliant les 99 premières.

• Dans un service technique, le nombre de mécaniciens hommes est le double du nombre de mécaniciennes. Parmi les effectifs totaux suivants : 30, 12, 33, 60, 59, lequel est impossible ?
  → Réponses : 33, 30, 59, 12, 60
  Si le nombre d'hommes est le double de celui des femmes, l'effectif total vaut le nombre de mécaniciennes plus 2 fois ce nombre, soit 1 + 2 = 3 fois le nombre de mécaniciennes : il est nécessairement un multiple de 3. Or 30, 12, 33 et 60 le sont, mais 59 ne l'est pas, puisque 59 = 3*19 + 2. C'est donc 59 qui est impossible. Aucun calcul d'effectif n'est demandé ici, seulement un test de divisibilité.

• Une promotion de 126 élèves comprend au moins un redoublant. Quelle que soit la façon de la répartir en groupes de 6, chaque groupe compte toujours au moins 5 primo-arrivants. Combien la promotion peut-elle compter de redoublants au maximum ?
  → Réponses : 21, 4, 6, 126, 1
  Raisonnons par l'absurde. S'il y avait 2 redoublants dans la promotion, une répartition pourrait les réunir dans le même groupe de 6 : ce groupe ne compterait plus que 4 primo-arrivants, alors que la règle en exige au moins 5. La promotion ne peut donc pas en compter plus de 6 - 5 = 1. Et 1 convient : un redoublant seul laisse 5 primo-arrivants dans son groupe. Le maximum est donc 1. Ce qui rend la contrainte forte, c'est qu'elle vaut pour toute répartition, pas seulement pour une. Attention aux autres nombres de l'énoncé : ni l'effectif total, ni le nombre de groupes (126/6 = 21) ne répond à la question.

• Une aire de stationnement circulaire de 27 mètres de rayon est entourée d'une bande de servitude de 2 mètres de largeur. Des balises sont disposées sur tout le pourtour extérieur de cette bande, régulièrement espacées de 40 centimètres. Combien de balises faut-il ? (on prendra PI = 3)
  → Réponses : 431, 218, 436, 434, 435
  Les balises sont sur le pourtour extérieur de la bande, donc sur un cercle de 27 + 2 = 29 mètres de rayon, et non sur le bord de l'aire elle-même. Son périmètre vaut 2*3*29 = 174 mètres, soit 17400 centimètres. À une balise tous les 40 centimètres, il en faut 17400 / 40 = 435. Le pourtour est fermé : la dernière balise retombe sur la première, il n'y en a donc pas une de plus à ajouter. Oublier le facteur 2 du périmètre en donnerait deux fois moins, et prendre les 27 mètres de l'aire seule, sans la bande, est l'autre erreur classique.

• Une cuve parallélépipédique mesure 6 mètres de longueur, 4 mètres de largeur et 2 mètres de hauteur en dimensions intérieures. Elle est remplie d'eau à 50 pourcents. Sachant que ses parois pèsent 140 kilogrammes à vide et qu'un litre d'eau pèse un kilogramme, quel est le poids total de la cuve remplie ?
  → Réponses : 24150 kg, 24040 kg, 24000 kg, 140 kg, 24140 kg
  Le volume intérieur vaut 6*4*2 = 48 m3, soit 48000 litres, puisqu'un mètre cube fait 1000 litres. Remplie à 50 pourcents, la cuve contient 48000*0.5 = 24000 litres, donc 24000 kilogrammes d'eau. Les parois pèsent 140 kilogrammes à vide : le poids total est 24000 + 140 = 24140 kilogrammes. Répondre 24000, c'est oublier la tare.

• Un réservoir cylindrique mesure 53 mètres de longueur et 2 mètres de diamètre. Il doit être entièrement recouvert d'un revêtement, fonds compris. Quelle surface de revêtement faut-il ? (on prendra PI = 3)
  → Réponses : 318 m2, 330 m2, 6 m2, 312 m2, 324 m2
  La paroi latérale se déroule en un rectangle : sa longueur est le périmètre du cercle, 3*2 = 6 mètres, et sa largeur la longueur du réservoir, 53 mètres. Elle mesure donc 6*53 = 318 m2. Les deux fonds sont des disques de 2/2 = 1 mètre de rayon, soit 3*1*1 = 3 m2 chacun, donc 6 m2 à eux deux. Le revêtement couvre 318 + 6 = 324 m2. Répondre 318, c'est avoir oublié les fonds, que l'énoncé demande pourtant de compter.

• On augmente de 110 pourcents la longueur de chacun des côtés d'un terrain carré. De quel pourcentage sa surface augmente-t-elle ?
  → Réponses : 220 pourcents, 682 pourcents, 826.1 pourcents, 338 pourcents, 341 pourcents
  Chaque dimension est multipliée par 1 + 110/100 = 2.1. La surface, qui est un produit de deux dimensions, est donc multipliée par 2.1*2.1 = 4.41 : elle augmente de (4.41 - 1)*100 = 341 pourcents. Répondre 110, c'est recopier le taux des longueurs ; répondre 220, c'est multiplier ce taux par 2 au lieu d'élever le coefficient à la puissance 2.

• Un terrain en forme de triangle rectangle, dont les deux côtés de l'angle droit mesurent 500 mètres et 600 mètres, est vendu 51300 euros au total. Quel est le prix de l'hectare ?
  → Réponses : 3360 euros, 3390 euros, 6840 euros, 3430 euros, 3420 euros
  L'aire d'un triangle rectangle vaut le demi-produit des deux côtés de l'angle droit, soit 500*600 / 2 = 150000 m2. Un hectare faisant 10000 m2, le terrain mesure 150000/10000 = 15 hectares. Le prix de l'hectare est donc 51300 / 15 = 3420 euros. Oublier le demi-produit doublerait l'aire et diviserait ce prix par deux, à 1710 euros : c'est l'erreur classique de cette famille.

• Un concours comporte deux épreuves notées sur 20. L'épreuve de connaissances compte pour un coefficient 2 et l'épreuve orale pour un coefficient 4. La moyenne à atteindre pour être admis est de 9.2 sur 20. Un candidat a obtenu 5.4 à l'épreuve de connaissances. Quelle note minimale doit-il obtenir à l'épreuve orale ?
  → Réponses : 5.4, 11.6, 9.1, 11.1, 10.6
  La moyenne n'est pas celle des deux notes, mais leur moyenne pondérée : (2*5.4 + 4*n) / 6, où n est la note cherchée. Elle doit atteindre 9.2, donc 2*5.4 + 4*n = 6*9.2, c'est-à-dire 10.8 + 4n = 55.2. Il reste 4n = 44.4, soit n = 44.4/4 = 11.1. Tout tient au coefficient : l'épreuve orale pèse 4 sur 6 dans la moyenne, contre 2 sur 6 pour l'épreuve de connaissances.

• Le premier atelier compte 80 pièces, dont 60 pourcents sont conformes. Le second atelier est plus fourni de 50 pourcents, et cette proportion y atteint 75 pourcents. Quel est le pourcentage de pièces conformes sur l'ensemble des deux ?
  → Réponses : 75 pourcents, 69 pourcents, 67 pourcents, 73 pourcents, 71 pourcents
  Le premier atelier compte 80 pièces. Le second atelier en compte 50 pourcents de plus, soit 80*1.5 = 120, ce qui fait 80 + 120 = 200 pièces en tout. Le nombre de pièces conformes vaut 60 pourcents de 80, soit 48, plus 75 pourcents de 120, soit 90 : 138 au total. Le pourcentage global vaut donc 138 / 200 = 69 pourcents. Faire la moyenne des deux taux, (60 + 75) / 2 = 67.5 pourcents, supposerait deux groupes de même effectif, or le second en compte 50 pourcents de plus.

• Un voyageur a dépensé tout son argent en passant par 3 haltes. Dans chacune d'elles, il a dépensé 9 euros de plus que la moitié de ce qu'il lui restait en arrivant, et il en est ressorti sans rien à l'issue de la dernière étape. Combien avait-il au départ ?
  → Réponses : 135 euros, 108 euros, 126 euros, 117 euros, 27 euros
  On remonte depuis la fin. À la dernière étape, appelons x ce qu'il avait en arrivant : il y a dépensé x/2 + 9 et il est reparti sans rien, donc x/2 = 9 et x = 2*(0 + 9) = 18. Chaque étape antérieure se remonte de la même façon, en doublant le montant augmenté de 9 euros : 2*(18 + 9) = 54, 2*(54 + 9) = 126. Il avait donc 126 euros au départ. La constante de 9 euros interdit de traiter la cascade comme une simple multiplication par 2 puissance 3 : ce raccourci donnerait 8*9 = 72, et c'est faux.

• Un avion effectue une rotation avec 2 escales : à la première escale, un sixième des passagers descend et 4 montent ; à la deuxième escale, un sixième des passagers descend et 3 montent. À l'arrivée au terminus, l'avion transporte 48 passagers. Combien de passagers y avait-il au départ ?
  → Réponses : 70, 41, 55, 54, 60
  On remonte escale par escale, en inversant chaque étape : quand un sixième des passagers descend, il en reste les 5/6, donc l'effectif d'avant vaut (effectif d'après, moins ceux qui sont montés) multiplié par 6/5. La fraction change d'une escale à l'autre, le rapport à appliquer aussi. En partant des 48 passagers du terminus : avant la deuxième escale, où un sixième descend et 3 montent, ils étaient (48 - 3)*6/5 = 54 ; avant la première escale, où un sixième descend et 4 montent, ils étaient (54 - 4)*6/5 = 60. L'avion est donc parti avec 60 passagers. L'effectif d'avant la deuxième escale, 54, guette celui qui s'arrête en chemin.

• Antoine, Bruno, Cédric jouent trois manches avec des pièces d'un euro. À chaque manche, le perdant double les avoirs de chacun des deux autres. Les manches se sont jouées ainsi : à la première, Antoine a perdu ; à la deuxième, Bruno a perdu ; à la troisième, Cédric a perdu. À la fin de la partie, Antoine a 36 euros, Bruno a 10 euros et Cédric a 9 euros. Combien Antoine avait-il au début de la partie ?
  → Réponses : 30 euros, 32 euros, 28 euros, 8 euros, 31 euros
  On rejoue la partie à l'envers. Un joueur qui a été doublé avait la moitié de ce qu'il a juste après ; le perdant, lui, a payé ces deux moitiés. La troisième manche a été perdue par Cédric : les deux autres y ont vu leur avoir doubler, ils en avaient donc la moitié juste avant, Antoine 18 et Bruno 5 ; Cédric, lui, en avait 9 à l'issue de la manche, après avoir payé ces deux doublements, donc 9 + 18 + 5 = 32 avant. La deuxième manche a été perdue par Bruno : les deux autres y ont vu leur avoir doubler, ils en avaient donc la moitié juste avant, Antoine 9 et Cédric 16 ; Bruno, lui, en avait 5 à l'issue de la manche, après avoir payé ces deux doublements, donc 5 + 9 + 16 = 30 avant. La première manche a été perdue par Antoine : les deux autres y ont vu leur avoir doubler, ils en avaient donc la moitié juste avant, Bruno 15 et Cédric 8 ; Antoine, lui, en avait 9 à l'issue de la manche, après avoir payé ces deux doublements, donc 9 + 15 + 8 = 32 avant. Antoine avait donc 32 euros au début de la partie. Le total, lui, ne bouge jamais d'une manche à l'autre : 55 euros du début à la fin. Facile à calculer, il ne répond pourtant pas à la question posée.

• Une cuve contient un mélange antigel titrant 85 pourcents en antigel. On y ajoute 280 litres d'eau et le mélange obtenu titre alors 15 pourcents en antigel. Quel volume de mélange la cuve contenait-elle initialement ?
  → Réponses : 50 litres, 40 litres, 280 litres, 60 litres, 70 litres
  Le liquide ajouté ne contient pas d'antigel : la quantité d'antigel ne change pas, seul le volume total augmente. Appelons V le volume initial, en litres. Cette quantité vaut 85 pourcents de V avant l'ajout, et 15 pourcents de V + 280 après : 85*V = 15*(V + 280). En développant, (85 - 15)*V = 15*280 = 4200, soit V = 4200 / 70 = 60 litres. Répondre 340, c'est donner le volume final, après l'ajout.

• Un bassin contient 1800 poissons, dont 2 pourcents sont bleus et tous les autres jaunes. Combien de poissons jaunes faut-il retirer pour que les poissons bleus représentent 4 pourcents du bassin ?
  → Réponses : 890, 900, 905, 1800, 920
  Le retrait ne porte que sur les poissons jaunes : le nombre de bleus, lui, ne change pas. Il vaut 2 pourcents de 1800, soit 1800*2/100 = 36 poissons bleus. Pour que ces 36 poissons représentent 4 pourcents du bassin, celui-ci doit compter 36/0.04 = 900 poissons. Il faut donc en retirer 1800 - 900 = 900. Plus court que le calcul : multiplier le pourcentage par 2 revient à diviser l'effectif par 2, et 1800/2 = 900. L'erreur classique est de rendre 1764, qui n'est que le nombre de poissons jaunes du départ.

• Deux avions de tourisme partent au même moment d'une ville A pour se rendre dans une ville B, distantes de 84 kilomètres. Sachant que le premier appareil vole 25 km/h plus vite que l'autre et arrive 1 heure plus tôt, quelle est la vitesse du plus lent ?
  → Réponses : 35 km/h, 70 km/h, 84 km/h, 47 km/h, 25 km/h
  Soit v la vitesse du plus lent, en km/h. Le trajet lui prend 84/v heures, et 84/(v + 25) au plus rapide, avec 1 heure d'écart : 84/v - 84/(v + 25) = 1. On multiplie les deux membres par v*(v + 25) : 84*(v + 25) - 84*v = v*(v + 25), et la gauche se réduit à 84*25. Donc v*(v + 25) = 84*25 = 2100, c'est-à-dire v² + 25v - 2100 = 0. Le discriminant vaut 25² + 4*2100 = 9025, dont la racine carrée est 95 : la racine positive de l'équation est v = (95 - 25)/2 = 35. Le plus lent vole donc à 35 km/h et met 84/35 = 2.4 heures, contre 84/60 = 1.4 heures au plus rapide : l'écart est bien de 1 heure. L'erreur classique est de rendre 60, qui est la vitesse du plus rapide.

• Un promoteur achète un terrain 6750 euros et le divise en lots de même surface. Il revend chaque lot 1000 euros. Son bénéfice est exactement égal à ce que lui ont coûté 3 de ces lots. En combien de lots le terrain a-t-il été divisé ?
  → Réponses : 8, 11, 13, 7, 9
  Si le terrain est divisé en n lots, chaque lot a coûté 6750/n euros, et la vente rapporte 1000 euros par lot, soit 1000n euros en tout. Le bénéfice, 1000n - 6750, doit égaler ce qu'ont coûté 3 lots, soit 3*6750/n. En multipliant par n : 1000n² - 6750n - 20250 = 0, c'est-à-dire 4n² - 27n - 81 = 0 après division par 250. Son discriminant vaut 27² + 4*4*81 = 2025, dont la racine carrée est 45, et la racine positive de l'équation est n = (27 + 45)/(2*4) = 9. Vérification : 9 lots vendus 1000 euros rapportent 9000 euros, soit 9000 - 6750 = 2250 euros de bénéfice, et 3 lots ont bien coûté 3*6750/9 = 2250 euros.

• Un chef de cabine annonce à son équipage le nombre de plateaux à préparer sous forme d'énigme : en multipliant la moitié de cette quantité par son cinquième, on obtient 21160. Quelle est cette quantité ?
  → Réponses : 230, 920, 460, 21160, 462
  Soit x la quantité cherchée. "La moitié" vaut x/2 et "son cinquième" vaut x/5 : l'énoncé dit donc (x/2)*(x/5) = 21160, soit x²/10 = 21160. On en tire x² = 10*21160 = 211600, dont la racine carrée est x = 460. L'inconnue apparaît au carré : c'est le seul indice qu'il ne s'agit pas d'une règle de trois. Les deux erreurs faciles sont de rendre 230, qui n'est que x/2, ou 21160 lui-même.

• Quelle est la somme de 9 jours 5 heures 58 minutes 24 secondes et de 2 jours 1 heure 59 minutes 22 secondes ?
  → Réponses : 11 jours 6 heures 57 minutes 46 secondes, 11 jours 7 heures 57 minutes 45 secondes, 11 jours 7 heures 57 minutes 46 secondes, 11 jours 7 heures 57 minutes 47 secondes, 12 jours 7 heures 57 minutes 46 secondes
  On additionne colonne par colonne, en changeant de base à chaque retenue. Les secondes : 24 + 22 = 46. Les minutes : 58 + 59 = 117, ce qui dépasse 60 : on retient 1 heure et il reste 57 minutes. Les heures : 5 + 1 + 1 = 7. Les jours : 9 + 2 = 11. Le total est de 11 jours 7 heures 57 minutes 46 secondes. Le piège de cette famille est la retenue des heures : elle se fait en base 24, et non en base 60 comme les deux précédentes.

• Le potentiel restant d'un appareil avant sa prochaine visite est de 3 semaines, 6 jours et 8 heures. À combien d'heures cela correspond-il ?
  → Réponses : 680 heures, 648 heures, 27 heures, 512 heures, 656 heures
  Une semaine fait 7 jours : 3 semaines en font 7*3 = 21, auxquels s'ajoutent les 6 jours restants : 27 jours en tout. À 24 heures par jour, cela donne 27*24 = 648 heures. En ajoutant les 8 heures restantes, on obtient 656 heures. S'arrêter à 648, c'est oublier ce reliquat.

• Une salle de sport propose deux tarifs. Avec le premier, la séance coûte 170 euros. Avec le second, on acquitte un abonnement de 240 euros puis la séance ne coûte plus que 100 euros. À partir de combien de séances le second tarif devient-il avantageux ?
  → Réponses : 7, 1, 4, 3, 2
  Avec le premier tarif, n séances coûtent 170n euros. Avec le second, le total est de 240 + 100n euros : un abonnement de 240 euros, puis 100 euros par séance. Le second l'emporte dès que 240 + 100n est inférieur à 170n, c'est-à-dire dès que 240 est inférieur à 70n, soit n supérieur à 240/70 = 24/7. Ce point d'équilibre n'est pas entier : il tombe entre 3 et 4. Le second tarif devient donc avantageux à partir de 4 séances. Arrondir l'équilibre vers le bas donnerait 3, et c'est l'erreur classique : un seuil est le premier entier au-dessus du point d'équilibre, jamais celui d'en dessous.

• Un salarié gagne 2900 euros par mois. Après 13 mois à ce salaire, il est augmenté de 15 pourcents ; il perçoit ce nouveau salaire pendant 22 mois, puis il est augmenté de 20 pourcents et perçoit ce dernier salaire pendant 14 mois. Quelle somme aura-t-il gagnée en tout sur cette période ?
  → Réponses : 167098 euros, 166998 euros, 4002 euros, 166098 euros, 167108 euros
  Chaque palier compte pour sa durée, et la seconde augmentation porte sur le salaire déjà augmenté, pas sur celui d'origine. Les 13 premiers mois à 2900 euros font 13*2900 = 37700 euros. Le salaire passe ensuite à 2900*1.15 = 3335 euros, versés 22 mois, soit 73370 euros. Puis à 3335*1.2 = 4002 euros, versés 14 mois, soit 56028 euros. Le total fait 37700 + 73370 + 56028 = 167098 euros. L'erreur classique est de rendre 4002, qui n'est que le dernier salaire mensuel, là où l'énoncé demande une somme cumulée.

• Sur une route rectiligne, deux véhicules se trouvent de part et d'autre de la ville de Verdes. La distance qui sépare le premier de Verdes vaut le quart de la distance qui sépare les deux véhicules. Au bout d'une heure, la distance entre le premier et Verdes a augmenté de 25 pourcents et celle entre le second et Verdes de 35 pourcents. Sachant que la distance qui les sépare a alors augmenté de 247 kilomètres, quelle était la distance initiale entre eux ?
  → Réponses : 570 kms, 780 kms, 770 kms, 720 kms, 760 kms
  Le premier véhicule est au quart de la distance qui les sépare, donc le second est aux trois quarts. Si D est cette distance, la première portion s'allonge de (D/4)*25/100 = D/16 et la seconde de (3D/4)*35/100 = 21D/80. Leur somme, 13D/40, vaut 247 kilomètres : D = 247*40/13 = 760 kilomètres. Vérification : 190 km s'allongent de 47.5 km et 570 km de 199.5 km, soit bien 247 km d'écart supplémentaire.

• Un concurrent participe à une course en peloton. Il constate que le septième des concurrents situés devant lui, ajouté au cinquième des concurrents situés derrière lui, donne exactement le nombre de concurrents situés devant lui. Sachant qu'il en compte 210 derrière lui, combien la course compte-t-elle de participants ?
  → Réponses : 266, 260, 258, 210, 262
  Soit d le nombre de concurrents situés devant ce coureur. L'énoncé dit d/7 + 210/5 = d, c'est-à-dire d/7 + 42 = d. Il reste 42 = d - d/7 = 6d/7, donc d = 42*7/6 = 49. Le peloton compte les 49 devant, les 210 derrière, ET le coureur lui-même : 49 + 210 + 1 = 260 participants. S'arrêter à 49, c'est ne compter que les concurrents situés devant ce coureur. Sans la donnée "210 derrière lui", l'équation admettrait une infinité de solutions proportionnelles : c'est elle qui ferme le problème.

• Un exploitant possède une parcelle de 20000 m2 et son voisin une parcelle de 140000 m2. Quelle fraction de sa propre parcelle le voisin doit-il céder en échange du sixième de la parcelle de l'exploitant, pour que l'échange soit équitable ?
  → Réponses : 1/6, 1/41, 1/48, 1/84, 1/42
  L'échange n'est équitable que si les deux surfaces échangées sont égales, et non les deux fractions : les parcelles n'ont pas la même taille. La part cédée par l'exploitant est le sixième de 20000 m2, et la parcelle du voisin en fait 140000. Rapportée à celle-ci, cette surface représente 20000/(6*140000) = 1/42 de sa parcelle. Plus court : la parcelle du voisin est 7 fois plus grande, donc la fraction demandée est 7 fois plus petite que le sixième, soit 1/(6*7) = 1/42. Rendre 1/6, ce serait céder la même fraction de deux parcelles inégales, ce qui n'a aucun sens.

• Deux navires font la navette entre un port A et un port B, à vitesse constante chacun. Ils partent au même moment, l'un de A et l'autre de B. Ils se croisent une première fois à 50 kilomètres du port A. Arrivés à destination, ils repartent aussitôt et se croisent une seconde fois, avant d'avoir regagné leur port de départ, à 24 kilomètres du port A. Quelle est la distance entre les deux ports ?
  → Réponses : 107 kms, 82 kms, 87 kms, 100 kms, 92 kms
  Au premier croisement, les deux navires ont parcouru ensemble exactement une fois la distance D, et celui parti de A en a fait 50 kilomètres. Au second croisement, ils l'ont parcourue ensemble trois fois : comme leurs vitesses ne changent pas, chacun a fait trois fois ce qu'il avait fait au premier, et le navire parti de A totalise 3*50 = 150 kilomètres. N'ayant viré qu'une fois, il se trouve alors à 2D - 150 du port A. Le second croisement est annoncé à 24 kilomètres du port A, donc 2D - 150 = 24, et D = (150 + 24)/2 = 87 kilomètres. Tout tient au port de référence, et il y a deux formules à ne pas confondre : annoncé depuis le port A, D = (3*d1 + d2)/2 ; annoncé depuis le port B, D = 3*d1 - d2. Ici, la mauvaise formule donnerait 126. La précision "avant d'avoir regagné leur port de départ" n'est pas décorative : elle garantit un seul demi-tour, donc une seule distance possible.