TMRL 1

Vous devez traiter 30 exercices en 10 minutes.

Suite à vos retours et questions, nous mettons en ligne quelques pistes de raisonnement pour ce test. Traduisons déjà mathématiquement et proprement ce que cachent les tournures employées dans cet exercice :

• "Tous les titis sont des totos." signifie qu'un "titi" sera forcément un "toto". Mais la réciproque peut très bien être fausse. Il est donc faux de considérer dans ce cas qu'un "toto" est forcément un "titi". Mathématiquement les "titis" sont inclus dans les "totos"
• "Certains totos ne sont pas des titis." équivaut à "tous les totos ne sont pas des titis" et équivaut à "Il existe au moins un toto qui n'est pas un titi." Mathématiquement les "totos" ne sont pas inclus dans les "titis"
• "Certains totos sont des titis" équivaut à "Certains titis sont des totos". Les "titis" et les "totos" ont donc des éléments en commun. Mathématiquement les "totos" et les "titis" ont une intersection non vide.
• "Aucun titi n'est un toto." signifie que les "titis" et les "totos" n'ont pas d'élément en commun. Mathématiquement les "totos" et les "titis" ont une intersection vide.
• "Soit on n'a pas de titi, soit on a un toto." équivaut à "Soit on a un toto, soit on n'a pas de titi." ce qui équivaut aussi à "Si on a un titi, alors on a un toto." ce qui équivaut aussi à "Si on n'a pas de toto, alors on n'a pas de titi." En bref, "titi" entraîne "toto" c'est à dire mathématiquement que les "titis" sont inclus dans les "totos". La contraposée est bien sûr vraie (ie : ne pas avoir de "toto" entraîne ne pas avoir de "titi"). Mais la réciproque est a priori fausse ! (ie : avoir un "toto" n'entraîne pas avoir un "titi")
  Nous insistons sur cet item. En logique basique (A => B) équivaut à (non A ou B). Exemple : "Si il pleut, alors il mouille" (i) équivaut à dire "Soit il mouille, soit il ne pleut pas." Cela se comprend facilement car quelque soit la situation il est vrai de dire "Soit il pleut, soit il ne pleut pas" (ii). En appliquant (i) à (ii), on a bien "Soit il pleut (et donc il mouille), soit il ne pleut pas." ce qui s'écrit aussi "Soit il mouille, soit il ne pleut pas." Notez tout de même que l'on ne sait rien de la réciproque. En effet, si "il mouille", ce n'est pas forcément "qu'il pleut", mais peut être juste qu'il bruine...mathématiquement, le "ou" de (non A ou B) n'est pas un ou exclusif.
• "On peut avoir un titi et pourtant aucun toto." équivaut à "On peut n'avoir aucun toto et pourtant avoir un titi." Cela signifie que avoir un "titi" n'entraîne pas nécessairement avoir un "toto". Mathématiquement les "titis" ne sont pas inclus dans les "totos"
• "On peut avoir un titi et un toto en même temps." équivaut à "On peut avoir un toto et un titi en même temps.". En un mot "totos" et "titis" se recoupent. Mathématiquement les "totos" et les "titis" ont une intersection non vide. Notez tout de même qu'il serait faux de conclure que "toto" entraîne "titi" ou que "titi" entraîne "toto".
• "Si on a un toto, alors on n'a pas de titi." équivaut à "Si on a un titi, alors on n'a pas de toto." qui équivaut aussi à "On ne peut pas avoir un toto et un titi en même temps." qui équivaut encore à "On ne peut pas avoir un titi et un toto en même temps.". Mathématiquement les "totos" et les "titis" ont une intersection vide.

Regardons maintenant les différents cas de figure qui peuvent se poser :

• "Tous les AA sont des BB."
  "Tous les BB sont des CC."
  On sait que AA est inclus dans BB qui est inclus dans CC. Donc AA est inclus dans CC. Et au passage AA et CC ont une intersection non nulle.
  On en déduit que "Tous les AA sont des CC".
  Par ailleurs "Certains AA sont des CC." ou bien "Certains CC sont des AA." sont aussi vrais.
  
• "Tous les AA sont des BB."
  "Aucun BB n'est un CC." ou "Aucun CC n'est un BB."
  Dans ce cas, AA est inclus dans BB. De plus, BB et CC n'ont aucun élément en commun.
  On en déduit que AA et CC n'ont aucun élément en commun donc que "Aucun BB n'est un CC." et "Aucun CC n'est un BB."
  Par ailleurs, cela implique que AA n'est pas inclus dans CC et que CC n'est pas inclus dans AA car sinon AA et CC auraient alors des éléments en commmun. Donc on a également "Aucun AA n'est un CC." et "Aucun CC n'est un AA."
  
• "Tous les AA sont des BB."
  "Certains BB sont des CC." ou "Certains CC sont des BB."
  Dans ce cas, AA est inclus dans BB. De plus, BB et CC ont des éléments en commun.
  Mais cela ne dit rien sur la relation entre AA et CC car plusieurs cas peuvent se présenter. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Tous les AA sont des BB."
  "Certains BB ne sont pas des CC." ou "Tous les BB ne sont pas des CC."
  Dans ce cas, AA est inclus dans BB. Mais, BB n'est pas inclus dans CC.
  Mais cela ne dit rien sur la relation entre AA et CC car plusieurs cas peuvent se présenter. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Tous les AA sont des BB."
  "Tous les CC sont des BB."
  Dans ce cas, AA et CC sont inclus dans BB.
  Mais cela ne dit rien sur la relation entre AA et CC car plusieurs cas peuvent se présenter. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Tous les AA sont des BB."
  "Certains CC ne sont pas des BB." ou "Tous les CC ne sont pas des BB."
  Dans ce cas, AA est inclus dans BB. Mais CC n'est pas inclus dans BB.
  Raisonnons par l'absurde en imaginant que CC soit inclus dans AA (schéma ci-dessous). Comme AA est inclus dans BB alors on aurait CC inclus dans BB ce qui contredit l'hypothèse que CC n'est pas inclus dans BB.
  On en conclut donc que CC n'est pas inclus dans AA, ce qui se traduit par "Certains CC ne sont pas des AA." ou "Tous les CC ne sont pas des AA."
  
• "Certains AA ne sont pas des BB." ou "Tous les AA ne sont pas des BB."
  "Tous les BB sont des CC."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA ne sont pas des BB." ou "Tous les AA ne sont pas des BB."
  "Aucun BB n'est un CC." ou "Aucun CC n'est un BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA ne sont pas des BB." ou "Tous les AA ne sont pas des BB."
  "Certains BB sont des CC." ou "Certains CC sont des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA ne sont pas des BB." ou "Tous les AA ne sont pas des BB."
  "Certains BB ne sont pas des CC." ou "Tous les BB ne sont pas des CC."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA ne sont pas des BB." ou "Tous les AA ne sont pas des BB."
  "Tous les CC sont des BB."
  Raisonnons par l'absurde et imaginons que AA soit inclus dans CC (schéma ci-dessous). Alors forcément on aurait AA inclus dans BB ce qui contredit l'hypothèse "Certains AA ne sont pas des BB."/"Tous les AA ne sont pas des BB.". On en déduit que AA n'est pas inclus dans CC. On a donc "Certains AA ne sont pas des CC." ou "Tous les AA ne sont pas des CC."
  
• "Certains AA ne sont pas des BB." ou "Tous les AA ne sont pas des BB."
  "Certains CC ne sont pas des BB." ou "Tous les CC ne sont pas des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA sont des BB." ou "Certains BB sont des AA."
  "Tous les BB sont des CC."
  A minima, ceux des AA qui sont des BB sont forcément des CC. On en déduit que "Certains AA sont des CC." ou "Certains CC sont des AA."
  
• "Certains AA sont des BB." ou "Certains BB sont des AA."
  "Aucun BB n'est un CC." ou "Aucun CC n'est un BB."
  Raisonnons par l'absurde et imaginons que AA soit inclus dans CC (schéma ci-dessous). Alors, forcément, ceux des AA qui sont des BB sont des CC. Ce qui contredit l'hypothèse "Aucun BB n'est un CC." / "Aucun CC n'est un BB."
  On en déduit donc que AA n'est pas inclus dans CC ce qui s'écrit "Certains AA ne sont pas des CC." ou "Tous les AA ne sont pas des CC."
  
• "Certains AA sont des BB." ou "Certains BB sont des AA."
  "Certains BB sont des CC." ou "Certains CC sont des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA sont des BB." ou "Certains BB sont des AA."
  "Certains BB ne sont pas des CC." ou "Tous les BB ne sont pas des CC."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA sont des BB." ou "Certains BB sont des AA."
  "Tous les CC sont des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains AA sont des BB." ou "Certains BB sont des AA."
  "Certains CC ne sont pas des BB." ou "Tous les CC ne sont pas des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Aucun AA n'est un BB." ou "Aucun BB n'est un AA."
  "Tous les BB sont des CC."
  Raisonnons par l'absurde et imaginons que CC soit inclus dans AA (schéma ci-dessous). Alors, forcément, tous les BB qui par hypothèse sont des CC sont aussi des AA. Ce qui contredit l'hypothèse "Aucun AA n'est un BB." ou "Aucun BB n'est un AA."
  On en déduit donc que CC n'est pas inclus dans AA ce qui s'écrit "Certains CC ne sont pas des AA." ou "Tous les CC ne sont pas des AA."
  
• "Aucun AA n'est un BB." ou "Aucun BB n'est un AA."
  "Aucun BB n'est un CC." ou "Aucun CC n'est un BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Aucun AA n'est un BB." ou "Aucun BB n'est un AA."
  "Certains BB sont des CC." ou "Certains CC sont des BB."
  Raisonnons par l'absurde et imaginons que CC soit inclus dans AA (schéma ci-dessous). Alors, par hypothèse, tous les CC sont des AA et donc ne sont pas des BB. Ce qui contredit l'hypothèse "Certains BB sont des CC." ou "Certains CC sont des BB."
  On en déduit donc que CC n'est pas inclus dans AA ce qui s'écrit "Certains CC ne sont pas des AA." ou "Tous les CC ne sont pas des AA."
  
• "Aucun AA n'est un BB." ou "Aucun BB n'est un AA."
  "Certains BB ne sont pas des CC." ou "Tous les BB ne sont pas des CC."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Aucun AA n'est un BB." ou "Aucun BB n'est un AA."
  "Tous les CC sont des BB."
  Dans ce cas, CC est inclus dans BB. De plus, AA et BB n'ont aucun élément en commun.
  On en déduit que AA et CC n'ont aucun élément en commun donc que "Aucun BB n'est un CC." et "Aucun CC n'est un BB."
  Par ailleurs, cela implique que C n'est pas inclus dans AA et que AA n'est pas inclus dans CC car sinon AA et CC auraient alors des éléments en commmun. Donc on a également "Aucun AA n'est un CC." et "Aucun CC n'est un AA."
  
• "Aucun AA n'est un BB." ou "Aucun BB n'est un AA."
  "Certains CC ne sont pas des BB." ou "Tous les CC ne sont pas des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Tous les BB sont des AA."
  "Tous les BB sont des CC."
  Les BB sont à la fois des AA et des CC. Donc AA et CC ont les BB en commun.
  Pn en déduit que "Certains AA sont des CC." ou "Certains CC sont des AA."
  
• "Tous les BB sont des AA."
  "Aucun BB n'est un CC." ou "Aucun CC n'est un BB."
  Raisonnons par l'absurde et imaginons que AA soit inclus dans CC (schéma ci-dessous). Alors, tous les BB sont des AA et donc sont aussi par hypothèse des CC. Ce qui contredit l'hypothèse "Aucun BB n'est un CC." ou "Aucun CC n'est un BB."
  On en déduit donc que AA n'est pas inclus dans CC ce qui s'écrit "Certains AA ne sont pas des CC." ou "Tous les AA ne sont pas des CC."
  
• "Tous les BB sont des AA."
  "Certains BB sont des CC." ou "Certains CC sont des BB."
  Ceux des CC qui sont des BB sont aussi des AA.
  On en déduit donc que AA et CC ont une intersection non nulle ce qui s'écrit "Certains AA sont des CC." ou "Certains CC sont des AA."
  
• "Tous les BB sont des AA."
  "Certains BB ne sont pas des CC." ou "Tous les BB ne sont pas des CC."
  Raisonnons par l'absurde et imaginons que AA soit inclus dans CC (schéma ci-dessous). Alors, tous les BB sont des AA et donc sont aussi par hypothèse des CC. Ce qui contredit l'hypothèse "Certains BB ne sont pas des CC." ou "Tous les BB ne sont pas des CC."
  On en déduit donc que AA n'est pas inclus dans CC ce qui s'écrit "Certains AA ne sont pas des CC." ou "Tous les AA ne sont pas des CC."
  
• "Tous les BB sont des AA."
  "Tous les CC sont des BB."
  On déduit facilement que "Tous les CC sont des AA." Par ailleurs, il est également vrai de dire que "Certains CC sont des AA." ou "Certains AA sont des CC."
  
• "Tous les BB sont des AA."
  "Certains CC ne sont pas des BB." ou "Tous les CC ne sont pas des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains BB ne sont pas des AA." ou "Tous les BB ne sont pas des AA."
  "Tous les BB sont des CC."
  Les BB qui ne sont pas des AA sont néanmoins des CC. Donc "Certains CC ne sont pas des AA."
  
• "Certains BB ne sont pas des AA." ou "Tous les BB ne sont pas des AA."
  "Aucun BB n'est un CC." ou "Aucun CC n'est un BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains BB ne sont pas des AA." ou "Tous les BB ne sont pas des AA."
  "Certains BB sont des CC." ou "Certains CC sont des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains BB ne sont pas des AA." ou "Tous les BB ne sont pas des AA."
  "Certains BB ne sont pas des CC." ou "Tous les BB ne sont pas des CC."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains BB ne sont pas des AA." ou "Tous les BB ne sont pas des AA."
  "Tous les CC sont des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• "Certains BB ne sont pas des AA." ou "Tous les BB ne sont pas des AA."
  "Certains CC ne sont pas des BB." ou "Tous les CC ne sont pas des BB."
  Cela ne dit rien de la position relative de AA et de CC. Donc on ne peut rien en déduire.
  
• Si AA implique BB et que l'on a AA, alors on a BB.
• Si AA implique BB et que l'on a pas AA, on ne sait pas si l'on a BB ou pas.
• Si AA implique BB et que l' on a BB, on ne sait pas si l'on a AA ou pas.
• Si AA implique BB et que l'on a pas BB, alors on a pas AA. (contraposée)
• Si BB implique AA et que l'on a AA, on ne sait pas si l'on a BB ou pas.
• Si BB implique AA et que l'on a pas AA, alors on a pas BB.
• Si BB implique AA et que l'on a BB, alors on a AA.
• Si BB implique AA et que l'on a pas BB, on ne sait pas si l'on a AA ou pas.
• On a jamais AA et BB en même temps. Ici on a un AA. Donc on a pas de BB.
• On a jamais AA et BB en même temps. Ici on n'a pas de AA. Cela ne dit rien sur le fait qu'on a un BB ou pas.
• On a jamais AA et BB en même temps. Ici on a un BB. Donc on a pas de AA.
• On a jamais AA et BB en même temps. Ici on n'a pas de BB. Cela ne dit rien sur le fait qu'on a un AA ou pas.